Egzamin maturalny – Maj 2008Arkusz maturalny

Na poniższym rysunku przedstawiono łamaną \( ABCD \), która jest wykresem funkcji \( y=f\left(x \right) \).

Korzystając z tego wykresu:
a) zapisz w postaci przedziału zbiór wartości funkcji \( f \),
b) podaj wartość funkcji \( f \) dla argumentu  \( x=1-\sqrt{10} \),
c) wyznacz równanie prostej \( BC \),
d) oblicz długość odcinka \( BC \).

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i \( n\geq 3 \) wyraża się wzorem: \( P_{n}=\frac{n\left(n-3 \right)}{2} \).

a) Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.

b) Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.

c) Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.

d) Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.

Rozwiąż równanie \( 4^{23}x-32^{9}x=16^{4}\cdot \left(4^{4} \right)^{4} \). Zapisz rozwiązanie tego równania w postaci \( 2^{k} \), gdzie \( k \) jest liczbą całkowitą.

Koncern paliwowy podnosił dwukrotnie w jednym tygodniu cenę benzyny, pierwszy raz o \( 10 \% \), a drugi raz o \( 5 \% \). Po obu tych podwyżkach jeden litr benzyny, wyprodukowanej przez ten koncern, kosztuje \( 4,62 \) zł. Oblicz cenę jednego litra benzyny przed omawianymi podwyżkami.

Nieskończony ciąg liczbowy \( a_{n} \) jest określony wzorem \( a_{n}=2-\frac{1}{n} \), dla \( n= 1,\; 2,\; 3, ... \)

a) Oblicz, ile wyrazów ciągu \( a_{n} \) jest mniejszych od \( 1,975 \).

b) Dla pewnej liczby \( x \) trzywyrazowy ciąg \( a_{2} \), \( a_{7} \), \( x \) jest arytmetyczny. Oblicz \( x \).

Prosta o równaniu \( 5x+4y-10=0 \) przecina oś \( Ox \) układu współrzędnych w punkcie \( A \) raz oś \( Oy \) w punkcie \( B \). Oblicz współrzędne wszystkich punktów \( C \) leżących na osi \( Ox \) i takich, że trójkąt \( ABC \) ma pole równe \( 35 \).

Dany jest trapez, w którym podstawy mają długość \( 4 \) cm i \( 10 \) cm oraz ramiona tworzą z dłuższą podstawą kąty o miarach \( 30^{\circ} \) i \( 45^{\circ} \). Oblicz wysokość tego trapezu.

Dany jest wielomian \( W\left(x \right) = x^{3} - 5x^{2} - 9x + 45 \).
a) Sprawdź, czy punkt \( A=\left(1, \, 30 \right) \) należy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian \( W \) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Oblicz najmniejszą i największą wartość funkcji kwadratowej \( f\left(x \right)=\left(2x+1 \right)\left(x-2 \right) \) w przedziale \( <-2, \, 2>\).

Rysunek przedstawia fragment wykresu funkcji \( h \), określonej wzorem \( h\left(x \right)=\frac{a}{x} \) dla \( x\neq 0 \). Wiadomo, że do wykresu funkcji \( h \) należy punkt \( P=\left(2, \, 5 \right) \).

a) Oblicz wartość współczynnika \( a \).

b) Ustal, czy liczba \( h\left( \pi \right)- h\left( -\pi \right) \) jest dodatnia czy ujemna.

c) Rozwiąż nierówność \( h\left( x \right)>5 \).

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się \( \frac{a^{2}\sqrt{15}}{4} \), gdzie \( a \) oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem \( \beta \). Oblicz \( cos\beta \) i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych odczytaj przybliżoną wartość \( \beta \) z dokładnością do \( 1^{\circ} \).

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących zdarzeń:

a) A - w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.

b) B - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od \( 9 \).

c) C - suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od \(9 \).