Planimetria

Wzory maturalne - Planimetria - Trójkat podobny
Wzory maturalne - Planimetria - Trójkat podobny

To, że dwa trójkąty \( ABC \) i \( DEF \) są przystające, możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech przystawania trójkątów:

  • cecha przystawania „bok – bok – bok”: odpowiadające sobie boki obu trójkątów mają te same długości: \( \left|AB\right|=\left|DE \right| \), \( \left|AC\right|=\left|DF \right| \), \( \left|BC\right|=\left|EF \right| \)
  • cecha przystawania „bok – kąt – bok”: np. \( \left|AB\right|=\left|DE \right| \), \( \left|AC\right|=\left|DF \right| \), kątów \( \left|BAC\right|=\left|EDF \right| \)
  • cecha przystawania „kąt – bok – kąt”: jeden bok jednego trójkąta ma tę samą długość, co odpowiadający mu bok drugiego trójkąta oraz miary odpowiadających sobie kątów obu trójkątów, przyległych do boku, są równe, np. \( \left|AB\right|=\left|DE \right| \), kątów \( \left|BAC\right|=\left|EDF \right| \), kątów \( \left|ABC\right|=\left|DEF \right| \)

Cechy podobieństwa trójkątów

Wzory maturalne - Planimetria - Trójkat podobny
Wzory maturalne - Planimetria - Trójkat podobny

To, że dwa trójkąty \( ABC \) i \( DEF \) są podobne, możemy stwierdzić na podstawie każdej z następujących cech podobieństwa trójkątów:

  • cecha przystawania „bok – bok – bok” – długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta \( \frac{\left|AB \right|}{\left|DE \right|}=\frac{\left|AC \right|}{\left|DF \right|}=\frac{\left|BC \right|}{\left|EF\right|} \)
  • cecha przystawania „bok – kąt – bok” – długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające, np. \( \frac{\left|AB \right|}{\left|DE \right|}=\frac{\left|AC \right|}{\left|DF \right|} \), kątów \( \left|BAC \right|=\left|EDF \right| \)
  • cecha przystawania „kąt – kąt– kąt”: dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta (więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające): kątów \( \left|BAC \right|=\left|EDF \right| \), \( \left|ABC\right|=\left|DEF\right| \), \( \left|ACB\right|=\left|DFE\right| \)

Wzory maturalne - Planimetria - Trójkat prostokatny

Oznaczenia w trójkącie ABC:

a, b, c
– długości boków, leżących odpowiednio naprzeciwko wierzchołków A, B, C
2p=a+b+c
– obwód trójkąta
α, β, γ
– miary kątów przy wierzchołkach A, B, C
ha, hb, hc
– wysokości opuszczone z wierzchołków A, B, C
R, r
– promienie okręgów opisanego i wpisanego

Twierdzenie sinusów

\[ \frac{a}{sin\alpha}=\frac{b}{sin\beta}=\frac{c}{sin\gamma}=2R \]

Twierdzenie cosinusów

\[ a^{2}=b^{2}+c^{2}-bc*cos \alpha \]\[ b^{2}=a^{2}+c^{2}-ac*cos \beta \]\[ c^{2}=a^{2}+b^{2}-ab*cos \gamma \]\[ P_{tr}=\frac{1}{2}ab*sin \gamma \]


Wzory na pole trójkąta

W zależności od danych jakimi dysponujemy wybieramy odpowiedni wzór.

\[ P_{tr}=\frac{1}{2}*a*h_{a} \]
\[ P_{tr}=\frac{1}{2}*b*h_{b} \]
\[ P_{tr}=\frac{1}{2}*c*h_{c} \]
\[ P_{tr}=\frac{abc}{4R} \]
\[ P_{tr}=\frac{1}{2}ac*sin \beta \]
\[ P_{tr}=\frac{1}{2}bc*sin \alpha \]

Twierdzenie Pitagorasa

W trójkącie \( ABC \) kąt \( \gamma \) jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy:

\[ a^{2}+b^{2}=c^{2} \]

Czyli suma kwadratów długości przyprostokątnych równa się kwadratowi długości przeciwprostokątnej.


Związki miarowe w trójkącie prostokątnym

Załóżmy, że kąt γ jest prosty. Wówczas:

Wzory maturalne - Planimetria - Związki w trójkącie prostokątnym
\[ a=c*sin \alpha =c*cos \beta \]\[ a=b*tg \alpha =b*\frac{1}{tg \beta} \]\[ h_{c}^{2}=\left|AD \right|*\left|DB \right| \]
\[ h_{c}=\frac{ab}{c} \]
\[ R=\frac{1}{2}*c \]
\[ r=\frac{a+b-c}{2} \]

Trójkąt równoboczny

Wzory maturalne - Planimetria - Trójkąt równoboczny
\[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \]
\[ R=\frac{2}{3}h \]
\[ P=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4} \]
\[ r=\frac{1}{3}h \]
a – długość boku, h – wysokość trójkąta

Twierdzenie Talesa

Różne proste \( AC \) i \( BD \) przecinają się w punkcie \( P \), przy czym spełniony jest jeden z warunków:

  • punkt \( A \) leży wewnątrz odcinka \( PC \) oraz punkt \( B \) leży wewnątrz odcinka \( PD \)
  • punkt \( A \) leży na zewnątrz odcinka \( PC \) oraz punkt \( B \) leży na zewnątrz odcinka \( PD \)

Wówczas proste \( AB \) i \( CD \) są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy:

\[ \frac{\left|PA\right|}{\left|AC\right|}=\frac{\left|PB\right|}{\left|BD\right|} \]

Wzory maturalne - Planimetria - Twierdzenie Talesa
Wzory maturalne - Planimetria - Twierdzenie Talesa

Czworokąty

Trapez

Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Wzór na pole trapezu:

\[ P=\frac{a+b}{2}*h \]

Wzory maturalne - Planimetria - Trapez

Równoległobok

Czworokąt, który ma dwie pary boków równoległych. Wzory na pole równoległoboku:
\[ P=ah=ab*sin \alpha \]\[ P=\frac{1}{2}\left|AC\right|\left|BD\right|sin \varphi \]

Wzory maturalne - Planimetria - Równoległobok

Romb

Czworokąt, który ma wszystkie boki jednakowej długości. Wzory na pole rombu:
\[ P=ah=a^{2}sin \alpha \]\[ P=\frac{1}{2}\left|AC\right|\left|BD\right| \]

Wzory maturalne - Planimetria - Romb

Deltoid

Czworokąt wypukły, który ma oś symetrii zawierającą jedną z przekątnych. Wzór na pole deltoidu:
\[ P=\frac{1}{2}\left|AC\right|\left|BD\right| \]

Wzory maturalne - Planimetria - Deltoid

Koło

Wzór na pole koła o promieniu \( r \):
\[ P=\pi r^{2} \]
Obwód koła o promieniu \( r \):
\[ L=2 \pi r \]
Wzory maturalne - Planimetria - Koło

Wycinek Koła

Wzór na pole wycinka koła o promieniu \( r \) i kącie środkowym α wyrażonym w stopniach:
\[ P= \pi r^{2}\frac{ \alpha }{360^{ ^{\circ} }} \]
Długość łuku \( AB \) wycinka koła o promieniu \( r \) i kącie środkowym \( \alpha \) wyrażonym w stopniach:
\[ l=2 \pi r\frac{ \alpha }{360^{ ^{\circ} }} \]
Wzory maturalne - Planimetria - Wycinek koła

Kąty w okręgu

  • Miara kąta wpisanego w okrąg jest równa połowie miary kąta środkowego, opartego na tym samym łuku.
  • Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na tym samym łuku, są równe.
  • Miary kątów wpisanych w okrąg, opartych na łukach równych, są równe.
Wzory maturalne - Planimetria - Kąty w trójkącie

Twierdzenie o kącie między styczną i cięciwą

Wzory maturalne - Styczna i cięciwa
Wzory maturalne - Styczna i cięciwa

Dany jest okrąg o środku w punkcie \( O \) i jego cięciwa \( AB \) . Prosta \( AC \) jest styczna do tego okręgu w punkcie \( A \) . Wtedy kąt \( \left|AOB \right|=2\left|CAB \right| \), przy czym wybieramy ten z kątów środkowych \( AOB \), który jest oparty na łuku znajdującym się wewnątrz kąta \( CAB \).


Twierdzenie o odcinkach stycznych

Jeżeli styczne do okręgu w punktach \( A \) i \( B \) przecinają się w punkcie \( P \), to
\[ \left|PA\right|=\left|PB \right| \]
Wzory maturalne - Odcinki i styczne

Twierdzenie o odcinkach siecznej i stycznej

Dane są: prosta przecinająca okrąg w punktach \( A \) i \( B \) oraz prosta styczna do tego okręgu w punkcie \( C \). Jeżeli proste te przecinają się w punkcie \( P \), to
\[ \left | {PA} \right |*\left | {PB} \right |=\left | {PC} \right |^{2} \]
Wzory maturalne - Odcinki i styczne

Okrąg opisany na czworokącie

Na czworokącie można opisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy miar jego przeciwległych kątów wewnętrznych są równe 180°:
\[ \alpha + \gamma = \beta + \delta =180^{\circ} \]
Wzory maturalne - Okrąg opisany na czworokącie>

Okrąg wpisany w czworokąt

W czworokąt wypukły można wpisać okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego przeciwległych boków są równe:
\[ a+c=b+d \]

Wzory maturalne - okrąg wpisany w czworokąt