Zadania otwarte

Tworząca stożka ma długość \(8\). Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(120^{\circ}\). Oblicz objętość tego stożka.

Dany jest trójkąt \(A B C\), w którym \(|A B|=11,|B C|=12\) oraz \(|\measuredangle A B C|=60^{\circ}\) (zobacz rysunek).

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz \( P \), jeśli zdanie jest prawdziwe, lub \( F \) - jeśli jest fałszywe.

Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \(\left(2 m+11, m^2+3,5-m\right)\) jest arytmetyczny i malejący.

Ciąg \(\left(a_n\right)\) określony jest w następujący sposób:

\(\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} & a_1=2 \\ & a_{n+1}=2 a_n+1, \text { dla } n \geqslant 1 \end{aligned} \end{matrix}\right.\)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz \( P \), jeśli zdanie jest prawdziwe, lub \( F \) - jeśli jest fałszywe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(O y\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).

Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)-3\). Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\). Oblicz sumę \(x_1+x_2\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(O y\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej.

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{l l} x+5 & \text{dla } x \in [-4,-2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2,2] \\ -3x+9 & \text{dla } x \in (2,4) \end{array} \right. \]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \( (x, y) \) na rysunku poniżej.

a) Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\).

b) Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).

c) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie.

d) Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\).

Rozwiąż nierówność \(3\left(2 x^2+1\right)<11 x \)