Zadania otwarte

W ciągu arytmetycznym \( \left \{ a_{1}, a_{2}...,a_{39}, a_{40} \right \}\) suma wyrazów tego ciągu o numerach parzystych jest równa \( 1340\), a suma wyrazów ciągu o numerach nieparzystych jest równa \( 1400\). Wyznacz ostatni wyraz tego ciągu arytmetycznego.

Przekątne rombu \( ABCD\) przecinają się w punkcie \( S=\left ( -\frac{21}{2},-1 \right )\). Punkty \( A\) i \( C\) leżą na prostej o równaniu \( y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{2}\). Wyznacz równanie prostej \( BD\).

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A\) polegającego na tym, że wylosowana liczba ma w zapisie dziesiętnym cyfrę dziesiątek, która należy do zbioru \( \left \{ 1,3,5,7,9 \right \}\) i jednocześnie cyfrę jedności, która należy do zbioru \( \left \{ 0,2,4,6,8 \right \}\).

Wierzchołki \( A\) i \( C\) trójkąta \( ABC\) leżą na okręgu o promieniu \( r\), a środek \( S\) tego okręgu leży na boku \( AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \( BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \( C\), a ponadto \( \left | AC \right |=r \sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \( ACB\) ma miarę \( 120 ^{\circ}\).

Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej \( x\) prawdziwa jest nierówność \( x+\frac{1-x}{x} \geqslant 1\).

Rozwiąż nierówność \( 2x^{2}-5x+3\leqslant 0\).

Rozwiąż równanie \( (x^{2}-16)(x^{3}-1)=0\).

Podstawą graniastosłupa prostego \( ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \( ABC\), w którym \( \left | \measuredangle ACB \right |=90 ^{\circ}\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \( AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \( BC\) jest równy \( 4:3\). Punkt \( S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \( ABC\), a długość odcinka \( SC\) jest równa \( 5\). Pole ściany bocznej \( BEFC\) graniastosłupa jest równe \( 48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.