Zadania otwarte

Wierzchołki \( A\) i \( C\) trójkąta \( ABC\) leżą na okręgu o promieniu \( r\), a środek \( S\) tego okręgu leży na boku \( AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \( BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \( C\), a ponadto \( \left | AC \right |=r \sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \( ACB\) ma miarę \( 120 ^{\circ}\).

Wykaż, że dla dowolnej liczby dodatniej \( x\) prawdziwa jest nierówność \( x+\frac{1-x}{x} \geqslant 1\).

Rozwiąż nierówność \( 2x^{2}-5x+3\leqslant 0\).

Rozwiąż równanie \( (x^{2}-16)(x^{3}-1)=0\).

Podstawą graniastosłupa prostego \( ABCDEF\) jest trójkąt prostokątny \( ABC\), w którym \( \left | \measuredangle ACB \right |=90 ^{\circ}\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \( AC\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \( BC\) jest równy \( 4:3\). Punkt \( S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \( ABC\), a długość odcinka \( SC\) jest równa \( 5\). Pole ściany bocznej \( BEFC\) graniastosłupa jest równe \( 48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Punkt \( C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \( ABC\), którego wierzchołek \( A\) leży na osi \( Ox\) a wierzchołek \( B\) na osi \( Oy\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka \( C\) przecina przeciwprostokątną \( AB\) w punkcie \( D=(3,4)\).

Oblicz współrzędne wierzchołków \( A\) i \( B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \( AB\).

Funkcja kwadratowa \( f(x)=ax^{2}+bx+c\) ma dwa miejsca zerowe \( x_{1}=-2\) i \( x_{2}=6\). Wykres funkcji \( f\) przechodzi przez punkt \( A=(1,-5)\). Oblicz najmniejszą wartość funkcji \( f\).

Dany jest ciąg arytmetyczny \( (a_{n})\), określony dla \( n \geqslant 1\), w którym spełniona jest równość \( a_{21}+a_{24}+a_{27}+a_{30}=100\). Oblicz sumę \( a_{25}+a_{26}\).