Zadania otwarte

Wyznacz wartość \(m\), dla której trzywyrazowy ciąg \(\left(2 m+11, m^2+3,5-m\right)\) jest arytmetyczny i malejący.

Ciąg \(\left(a_n\right)\) określony jest w następujący sposób:

\(\left\{\begin{matrix} \begin{aligned} & a_1=2 \\ & a_{n+1}=2 a_n+1, \text { dla } n \geqslant 1 \end{aligned} \end{matrix}\right.\)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz \( P \), jeśli zdanie jest prawdziwe, lub \( F \) - jeśli jest fałszywe.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(O y\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).

GRAFIKA

Funkcja \(g\) jest określona dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wzorem \(g(x)=f(x)-3\). Liczby \(x_1\) oraz \(x_2\) są różnymi miejscami zerowymi funkcji \(g\). Oblicz sumę \(x_1+x_2\).

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) przedstawiono fragment paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej \(f\) (zobacz rysunek). Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne \((3,6)\). Ta parabola przecina oś \(O y\) w punkcie o współrzędnych \((0,3)\).

GRAFIKA

Wyznacz wzór funkcji kwadratowej \(f\) w postaci kanonicznej.

Funkcja \(f\) jest określona następująco:

\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{l l} x+5 & \text{dla } x \in [-4,-2] \\ 3 & \text{dla } x \in (-2,2] \\ -3x+9 & \text{dla } x \in (2,4) \end{array} \right. \]

Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \( (x, y) \) na rysunku poniżej.

RYSUNEK

a) Wyznacz dziedzinę funkcji \(f\).

b) Wyznacz zbiór wartości funkcji \(f\).

c) Wyznacz zbiór wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości dodatnie.

d) Wyznacz zbiór wszystkich rozwiązań równania \(f(x)=3\).

Rozwiąż nierówność \(3\left(2 x^2+1\right)<11 x \)

Zarząd firmy wydzielił z budżetu kwotę \(1\,200\,000\) złotych łącznie na projekty badawcze dla dwóch zespołów: \(A\) i \(B\). W pierwszym półroczu realizacji tych projektów oba zespoły wykorzystały łącznie \(146\,700\) złotych - zespół \(A\) wykorzystał \(13 \%\) przyznanych mu środków, a zespół \(B\) wykorzystał \(11 \%\) przyznanych mu środków. Oblicz kwotę przyznaną zespołowi \(A\) na realizację projektu badawczego.

Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej \(n\) liczba \(3 n^2+2 n+7\) jest podzielna przez \(4\).