Zadania otwarte

Punkty \( A=(-20,12) \) i \( B=(7,3) \) są wierzchołakami trójkąta równoramiennego \( ABC \) w którym \( \left | AC \right |=\left | BC \right |\). Wierzchołek \( C \) leży na osi \( Oy \) układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka \( C \) oraz obwód tego trójkąta.

Gracz rzuca dwukrotnie symetryczna˛ sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa \( 4 \) lub \( 5 \), lub \( 6 \).

Trójkąt równoboczny \( ABC \) ma pole równe \( 9\sqrt{3} \). Prosta równoległa do boku \( BC \) przecina boki \( AB \) i \( AC \) - odpowiednio - w punktach \( K \) i \( L \). Trójkąty \( ABC \) i \( AKL \) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \( \frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \( AKL \).

Rozwiąż równanie \( \frac{3x+2}{3x-2}=4-x \).

Funkcja liniowa \( f \) przyjmuje wartość \( 2 \) dla argumentu \( 0 \), a ponadto \( f(4)-f(2)=6 \). Wyznacz wzór funkcji \( f \).

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \( a,b \) i \( c \) takich, że \( a < b \), spełniona jest nierówność \( \frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c} \).

Rozwiąż nierówność \( x^{2}-5x\leqslant 14 \).

Dany jest ciąg \( \left ( a_{n} \right ) \) określony wzorem \( a_{n}=\frac{5-3n}{7} \) dla każdej liczby naturalnej \( n\geqslant 1 \). Trójwyrazowy ciąg \( \left ( a_{4},x^{2}+2,a_{11} \right ), \) gdzie \( x \) jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz \( x \) oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.