Zadanie #3

Rok: 2009

Matura: Egzamin próbny

Poziom matury: Podstawowy

Numer w arkuszu: 28

Punkty: 2

Arkusz maturalny matematyka Cały arkusz

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: środek odcinka, równanie prostej, proste prostopadłe.

Treść zadania:

W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty \( A=(2,5) \) i \( C=(6,7) \) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \( ABCD\). Wyznacz równanie prostej \( BD\).

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Musimy wyznaczyć równanie prostej \( AC \), a następnie poszukać równania prostej prostopadłej do tej prostej i przechodzącej przez środek odcinka \( AC \).

Wzory niezbędne do rozwiązania tego zadania znajdziesz na stronie Wzory Maturalne - Geometria analityczna.

Rozwiązanie zadania

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku:

Równanie prostej

Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej \( AC \) i przechodzącej przez środek odcinka \( AC \), czyli przez punkt:

\( S=\left ( \frac{2+6}{2},\frac{5+7}{2} \right )=(4,6) \)

Zacznijmy od napisania równania prostej \( AC\). Szukamy prostej postaci \( y=ax+b\). Podstawiając współrzędne punktów \( A\) i \( C\) otrzymujemy układ równań.

\( \left\{\begin{matrix} 5=2a+b & & \\ 7=6a+b& & \end{matrix}\right. \)

Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić \( b\)) mamy:

\( 2=4a\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a=\frac{1}{2} \)

I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta \( BD\), jako prostopadła do \( AC\) musi mieć współczynnik kierunkowy \( -2\), czyli jest w postaci \( y=-2x+b\). Współczynnik \( b\) wyliczamy podstawiając współrzędne punktu \( S=(4,6)\).

\( 6=-2\cdot 4+b\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b=6+8=14 \)

Zatem szukana prosta ma równanie \( y=-2x+14\).

Odpowiedź: \( y=-2x+14\)

kursy-maturalne-matematyka

Oceń użyteczność zadania:

Chcielibyśmy wiedzieć, jak oceniasz to zadanie pod względem użyteczności w nauce i pomocy w zrozumieniu tematu. Prosimy, nie oceniaj trudności samego zadania, ale skup się na tym, jak pomogło Ci ono w nauce.

0 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 5

Liczba ocen: 0, średnia ocena: 0,00
Aby móc wystawić ocenę musisz być zalogowany.

Loading...

Ostatnio dodane na stronie

Wierzymy, że najlepszym sposobem nauki jest praktyka. Dlatego stale aktualizujemy naszą bazę zadań, abyś miał dostęp do najnowszych i najbardziej aktualnych treści. Oto kilka z naszych najnowszych zadań maturalnych, które pomogą Ci być o krok przed innymi.

Zadanie #1557
Zadanie #1557
Stereometria 2023
Zadanie #1556
Zadanie #1556
Kombinatoryka 2023
Zadanie #1555
Zadanie #1555
Statystyka 2023
Zadanie #1554
Zadanie #1554
Stereometria 2023
Zadanie #1553
Zadanie #1553
Geometria analityczna 2023
Zadanie #1552
Zadanie #1552
Geometria analityczna 2023