Rok: 2009
Matura: Egzamin próbny
Poziom matury: Podstawowy
Numer w arkuszu: 28
Punkty: 2
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: środek odcinka, równanie prostej, proste prostopadłe.
Treść zadania:
W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty \( A=(2,5) \) i \( C=(6,7) \) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu \( ABCD\). Wyznacz równanie prostej \( BD\).
Podpowiedź do zadania
Musimy wyznaczyć równanie prostej \( AC \), a następnie poszukać równania prostej prostopadłej do tej prostej i przechodzącej przez środek odcinka \( AC \).
Wzory niezbędne do rozwiązania tego zadania znajdziesz na stronie Wzory Maturalne - Geometria analityczna.
Rozwiązanie zadania
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku:
Z obrazka widzimy, że musimy napisać równanie prostej prostopadłej do prostej \( AC \) i przechodzącej przez środek odcinka \( AC \), czyli przez punkt:
\( S=\left ( \frac{2+6}{2},\frac{5+7}{2} \right )=(4,6) \)
Zacznijmy od napisania równania prostej \( AC\). Szukamy prostej postaci \( y=ax+b\). Podstawiając współrzędne punktów \( A\) i \( C\) otrzymujemy układ równań.
\( \left\{\begin{matrix} 5=2a+b & & \\ 7=6a+b& & \end{matrix}\right. \)
Odejmując od drugiego równania pierwsze (żeby skrócić \( b\)) mamy:
\( 2=4a\,\,\,\Rightarrow \,\,\,a=\frac{1}{2} \)
I dalej możemy nie liczyć, bo potrzebny nam jest tylko współczynnik kierunkowy. Zatem prosta \( BD\), jako prostopadła do \( AC\) musi mieć współczynnik kierunkowy \( -2\), czyli jest w postaci \( y=-2x+b\). Współczynnik \( b\) wyliczamy podstawiając współrzędne punktu \( S=(4,6)\).
\( 6=-2\cdot 4+b\,\,\, \Rightarrow \,\,\,b=6+8=14 \)
Zatem szukana prosta ma równanie \( y=-2x+14\).
Dodatkowa karta wzorów:
Odkryj naszą Kartę Dodatkowych Wzorów Maturalnych – kluczowe narzędzie dla każdego maturzysty.
Jeśli podoba Ci się to zadanie maturalne, udostępnij, je na Facebooku!
Oceń użyteczność zadania:
Chcielibyśmy wiedzieć, jak oceniasz to zadanie pod względem użyteczności w nauce i pomocy w zrozumieniu tematu. Prosimy, nie oceniaj trudności samego zadania, ale skup się na tym, jak pomogło Ci ono w nauce.
Ostatnio dodane na stronie
Wierzymy, że najlepszym sposobem nauki jest praktyka. Dlatego stale aktualizujemy naszą bazę zadań, abyś miał dostęp do najnowszych i najbardziej aktualnych treści. Oto kilka z naszych najnowszych zadań maturalnych, które pomogą Ci być o krok przed innymi.