Geometria analityczna

W kartezjańskim układzie współrzędnych ( \(x, y\) ) punkt \(P=(0,0)\) leży na okręgu \(O\) o środku w punkcie \(S=(2,4)\). Okrąg \(O\) jest określony równaniem:

Proste \(k\) oraz \(l\) są określone równaniami:

\(k: y=(m-2) x+5\)

\(l: y=-4 x+(m+3)\)

Proste \(k\) oraz \(l\) są równoległe, gdy liczba \(m\) jest równa:

W kartezjańskim układzie współrzędnych ( \(x, y\) ) dany jest kwadrat \(A B C D\), w którym \(A=\) \((4,-1)\). Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie \(S=(1,3)\). Przekątna kwadratu \(A B C D\) ma długość:

Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=(3-m) x-4\). Funkcja \(f\) nie ma miejsca zerowego dla \(m\) równego:

Punkty \(A=(-2,-8)\) i \(B=(14,-8)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(A B C\), w którym \(|A B|=|A C|\). Wysokość \(A D\) tego trójkąta jest zawarta w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2} x-7\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(C\) tego trójkąta.

Punkty \(A=(-1,1)\) i \(C=(1,9)\) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego \(A B C\), w którym \(|A C|=|B C|\). Podstawa \(A B\) tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu \(y=\frac{1}{2} x+\frac{3}{2}\). Oblicz współrzędne wierzchołka \(B\) tego trójkąta.

Okrąg o środku \( S_{1}=(2,1)\) i promieniu \( r\) oraz okrąg o środku \( S_{2}=(5,5)\) i promieniu \( 4\) są styczne zewnętrznie. Wtedy:

Punkt \(C=(0,0)\) jest wierzchołkiem trójkąta prostokątnego \(A B C\), którego wierzchołek \(A\) leży na osi \(O x\), a wierzchołek \(B\) na osi \(O y\) układu współrzędnych. Prosta zawierająca wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka \(C\) przecina przeciwprostokątną \(A B\) w punkcie \(D=(3,4)\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\) tego trójkąta oraz długość przeciwprostokątnej \(A B\).