Procenty

Wiemy, że:

\( 12\%a=15\%b~~/:12\% \)

\( a=\frac{15}{12}b=\frac{5}{4}b=1,25b=125\%b \)

Jeżeli Julia na początku miała \( x\) złotych, to po zakupie prezentu dla Maćka pozostało jej \( \frac{x}{2}\) złotych, a po zakupie prezentu dla Dominiki zostało jej:

\( 90 \%\cdot \frac{x}{2}=\frac{9}{10}\cdot \frac{x}{2}=\frac{9}{20}x= \)

\( =\frac{45}{100}x=45\%x \)

Jeżeli oznaczymy cenę początkową przez \( x \) to mamy równanie:

\( 0,9\cdot 0,9x=78732 \)

\( x=\frac{78732}{0,9\cdot 0,9}=97200 \)

Jeżeli oznaczymy przez \( n \) liczbę osobników na dzień \( 31 \) grudnia \( 2011 \) roku, to mamy:

\( 8910=n+120\%n=220\%n=2,2n~~/:2,2 \)

\( n=4050 \)

Jeżeli \( x \) jest wyjściową ceną spodni, to po obniżce cena wynosi \( 0,7x \), co daje równanie:

\( 0,7x=126 \)

\( x=\frac{126}{0,7}=180 \)

Po roku czasu, z wpłaconych \( 1000\) zł zostanie naliczonych

\( 1000\cdot 4\%=1000\cdot \frac{4}{100} \)

odsetek. Od odsetek należy jednak odjąć \( 19\%\) podatku, więc faktycznie kwota dopisanych odsetek będzie równa

\( 1000\cdot \frac{4}{100} \cdot 81\%=1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100} \)

W sumie będziemy więc mogli wypłacić

\( 1000+1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100}=1000 \left( 1+\frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100} \right). \)

Wiemy, że:

\( 48\%a=b=32\%c~~/:32\% \)

\( c=\frac{48}{32}a=\frac{3}{2}a=1,5a \)

Oznaczamy przez \( R \) promień koła większego, a przez \( r \) promień koła mniejszego. Mamy zatem:

\( R=130\%y=1,3r \)

Więc:

\( \pi R^{2}=\pi(1,3r)^{2}=\pi \cdot1,69r^{2}=169\% \cdot \pi r^{2} \)

A co za tym idzie, pole pierwszego koła jest większe o \( 69\% \) od pola drugiego koła.

Cena po pierwszej obniżce to:

\( 640\cdot 75\%=640\cdot 0,75=480 \)

Cena po drugiej obniżce to:

\( 480\cdot 90\%=480\cdot 0,9=432 \)

Cena po pierwszej obniżce to:

\( 3500\cdot 90\%=3500\cdot 0,9=3150\) zł

Cena po drugiej obniżce to:

\( 3150\cdot0,85=2677,5\) zł

Wiemy, że:

\( 15\%a=10\%b \)

\( 0,15a=0,1b~~\Rightarrow ~~a=\frac{0,1}{0,15}b=\frac{10}{15}b=\frac{2}{3}b \)

Ponadto:

\( 1350=ab=\frac{2}{3}b\cdot b~~\Rightarrow ~~b^{2}=1350\cdot \frac{3}{2}=2025=45^{2} \)

Zatem \( b=45 \).

Równanie opisane w treści to:

\( 230=x+15\%\cdot x=x+0,15x \)

Jeśli przez \( x\) oznaczymy cenę netto towaru (tzn. bez podatku VAT), to mamy:

\( 1,22x=183\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x= \frac{183}{1,22}=150\)

Cena towaru z \( 7\) - procentowym podatkiem VAT jest więc równa:

\( 1,07x=1,07\cdot 150=160,50 \)

Cena po pierwszej obniżce to:

\( 600\cdot 85\%=600\cdot 0,85=510 \)

Cena po drugiej obniżce to:

\( 510\cdot 90\%=510\cdot 0,9=459 \)

Jeżeli \( x \) jest wysokością pożyczki, to mamy równanie:

\( 1,5\%x=3000 \)

\( 0,015x=3000~~\Rightarrow ~~x=\frac{3000}{0,015}=200\,000 \)

Obliczamy, o ile złotych tańsze jest obuwie:

\( 220-176=44 \)

Sprawdźmy teraz ile to procent:

\( \frac{44}{220}=\frac{2}{10}=0,2=20\% \)

Oprocentowanie wzrosło z \( 15\%\) do \( 18\%\), czyli o \( \frac{3}{15}=\frac{1}{5}=20\%\) z \( 15\%\).

Liczymy:

\( 17\%\cdot 21 − 21\%\cdot17 = \frac{17}{100} \cdot 21 −\frac{21}{100}\cdot 17= 0\)

Oznaczmy przez \( x\) wyjściową cenę towaru. Zatem po pierwszej podwyżce cena wynosiła:

\( 1,2x \)

Po kolejnej podwyżce cena wynosiła:

\( 1,3\cdot 1,2x=1,56x \)

Zatem cena została łącznie podwyższona o \( 56\%\).

Liczymy:

\( 150\%\cdot c=78 \)

\( c=\frac{78}{1,5}=\frac{780}{15}=52 \)

Jeżeli przez \( x \) oznaczamy cenę roweru to mamy:

\( 0,09x=189\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,x=\frac{189}{0,09}=2100 \)

Jeżeli oznaczymy długości boków prostokąta przez \( a\) i \( b\), to po zmianie długości boków otrzymamy prostokąt o bokach długości \( 1,2a\) i \( 0,8b\). Jego pole jest więc równe:

\( 1,2a\cdot 0,8b=0,96ab \)

Co stanowi \( 96\%\) pola pierwszego prostokąta. Pole zmniejszyło sią więc o \( 4\%\).

Liczymy:

\( c+\frac{1}{2}c=78~~\Leftrightarrow ~~\frac{3}{2}c=78 \)

\( 3c=156~~\Leftrightarrow ~~c=52 \)

Jeżeli przez \( x \) oznaczamy cenę netto towaru (tzn. bez podatku), to mamy:

\( x+7\% x=34\,347 \)

\( 1,07x=34\,347~~\Rightarrow ~~x=32\,100 \)

Cena towaru z \( 23 \) - procentowym podatkiem VAT jest więc równa:

\( x+23\%x=1,23x=1,23\cdot 32\,100=39\,483 \)

Liczymy:

\( 0,4\%x=12 \)

\( \frac{4}{1000}x=12 \,\,/\cdot1000 \)

\( 4x=12000 \,\,/:4 \)

\( x=3000 \)