Procenty

Jeżeli Julia na początku miała \( x\) złotych, to po zakupie prezentu dla Maćka pozostało jej \( \frac{x}{2}\) złotych, a po zakupie prezentu dla Dominiki zostało jej:

\( 90 \%\cdot \frac{x}{2}=\frac{9}{10}\cdot \frac{x}{2}=\frac{9}{20}x= \)

\( =\frac{45}{100}x=45\%x \)

Jeżeli oznaczymy cenę początkową przez \( x\) to mamy równanie:

\( 0,9\cdot 0,9\cdot x=1944 \)

\( x=\frac{1944}{0,81}=2400 \)

Oczywiście:

\( b=125\%a=1,25a= \)

\( =a+0,25a=a+25\%a \)

Oprocentowanie wzrosło z \( 15\%\) do \( 18\%\), czyli o \( \frac{3}{15}=\frac{1}{5}=20\%\) z \( 15\%\).

Wiemy, że:

\( 12\%a=15\%b~~/:12\% \)

\( a=\frac{15}{12}b=\frac{5}{4}b=1,25b=125\%b \)

Jeżeli \( x \) jest wyjściową ceną roweru, to po obniżce cena wynosi \( 0,85x \), co daje równanie:

\( 0,85x=850 \ \Rightarrow \ x=\frac{850}{0,85} = 1000 \)

Cena po pierwszej obniżce to:

\( 640\cdot 75\%=640\cdot 0,75=480 \)

Cena po drugiej obniżce to:

\( 480\cdot 90\%=480\cdot 0,9=432 \)

Liczymy:

\( 17\%\cdot 21 − 21\%\cdot17 = \frac{17}{100} \cdot 21 −\frac{21}{100}\cdot 17= 0\)

Liczymy:

\( 0,6x=9\Rightarrow x=\frac{9}{0,06}=150 \)

Oznaczamy przez \( R \) promień koła większego, a przez \( r \) promień koła mniejszego. Mamy zatem:

\( R=130\%y=1,3r \)

Więc:

\( \pi R^{2}=\pi(1,3r)^{2}=\pi \cdot1,69r^{2}=169\% \cdot \pi r^{2} \)

A co za tym idzie, pole pierwszego koła jest większe o \( 69\% \) od pola drugiego koła.

Wiemy, że:

\( 15\%a=10\%b \)

\( 0,15a=0,1b~~\Rightarrow ~~a=\frac{0,1}{0,15}b=\frac{10}{15}b=\frac{2}{3}b \)

Ponadto:

\( 1350=ab=\frac{2}{3}b\cdot b~~\Rightarrow ~~b^{2}=1350\cdot \frac{3}{2}=2025=45^{2} \)

Zatem \( b=45 \).

Wiemy, że:

\( 48\%a=b=32\%c~~/:32\% \)

\( c=\frac{48}{32}a=\frac{3}{2}a=1,5a \)

Cena po obniżce jest równa:

\( 0,8 \cdot x =y \)

Odwracając sytuację otrzymujemy:

\( 0,8 \cdot x =y \,/: 0,8 \)

\( x=\frac{y}{0,8}=y\cdot\frac{5}{4}=1,25y \)

Czyli nową cenę należy podnieść o \( 25\% \).

Oznaczmy przez \( x\) wyjściową cenę towaru. Zatem po pierwszej podwyżce cena wynosiła:

\( 1,2x \)

Po kolejnej podwyżce cena wynosiła:

\( 1,3\cdot 1,2x=1,56x \)

Zatem cena została łącznie podwyższona o \( 56\%\).

Oznaczmy przez \( x\) cenę początkową drukarki. Liczymy:

\( 80\%\cdot 90\%x=0,8\cdot 0,9x\cdot 100\%=72\%x \)

Zatem cenę drukarki obniżono o \( 28\% \).

Równanie opisane w treści to:

\( 230=x+15\%\cdot x=x+0,15x \)

Cena po pierwszej obniżce to:

\( 600\cdot 85\%=600\cdot 0,85=510 \)

Cena po drugiej obniżce to:

\( 510\cdot 90\%=510\cdot 0,9=459 \)

Liczymy:

\( x=80\%y=\frac{80}{100}y=\frac{4}{5}y\,\,/\cdot\frac{5}{4} \)

\( y = \frac{5}{4}x = 1,25x = 125\%x \)

Cena po pierwszej obniżce to:

\( 30000\cdot 90\%=30000\cdot 0,9=27000 \)

a cena po drugiej obniżce to:

\( 27000\cdot 0,9=24300 \)

Niech \( x \) oznacza cenę towaru przed obniżką. Mamy zatem:

\( 2018=10\%x=\frac{1}{10} \cdot x~~/\cdot10 \)

\( x=2018\cdot10=20180 \)

W takim razie towar po obniżce kosztował:

\( 20180-2018=18162 \)

Po roku czasu, z wpłaconych \( 1000\) zł zostanie naliczonych

\( 1000\cdot 4\%=1000\cdot \frac{4}{100} \)

odsetek. Od odsetek należy jednak odjąć \( 19\%\) podatku, więc faktycznie kwota dopisanych odsetek będzie równa

\( 1000\cdot \frac{4}{100} \cdot 81\%=1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100} \)

W sumie będziemy więc mogli wypłacić

\( 1000+1000\cdot \frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100}=1000 \left( 1+\frac{4}{100}\cdot \frac{81}{100} \right). \)

Liczymy błąd bezwzględny:

\( |0,6-\frac{5}{8}|=|\frac{6}{10}-\frac{5}{8}|=|\frac{3}{5}-\frac{5}{8}|=|\frac{24}{40}-\frac{25}{40}|=\frac{1}{40} \)

Obliczamy błąd względny:

\( \frac{\frac{1}{40}}{\frac{5}{8}}=\frac{1}{40}\cdot \frac{8}{5}=\frac{1}{25}=0,04=4\% \)

Jeżeli przez \( x \) oznaczamy cenę roweru to mamy:

\( 0,09x=189\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,x=\frac{189}{0,09}=2100 \)

Jeżeli oznaczymy długości boków prostokąta przez \( a\) i \( b\), to po zmianie długości boków otrzymamy prostokąt o bokach długości \( 1,2a\) i \( 0,8b\). Jego pole jest więc równe:

\( 1,2a\cdot 0,8b=0,96ab \)

Co stanowi \( 96\%\) pola pierwszego prostokąta. Pole zmniejszyło sią więc o \( 4\%\).

Jeżeli przez \( n\) oznaczymy liczbę dziewcząt, to chłopców jest \( 4n\) i dziewczęta stanowią \( 20\% \):

\( \frac{n}{4n+n}=\frac{1}{5}\cdot 100\%=20\% \)