Geometria analityczna

Wzory maturalne - Geometria analityczna

Odcinek

D艂ugo艣膰 odcinka o ko艅cach w punktach: \( A=\left(x_{A},y_{A} \right) \), \( B=\left(x_{B},y_{B} \right) \) jest dana wzorem:
\[ \left|AB \right|=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left( y_{B}-y_{A}\right)^{2}} \]
Wsp贸艂rz臋dne 艣rodka odcinka \( AB \):
\[ \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \]

Prosta

R贸wnanie og贸lne prostej:

\[ Ax+By+C=0 \]
gdzie wsp贸艂czynniki \( A \), \( B \) nie s膮 r贸wnocze艣nie r贸wne 0.

Je偶eli \( A=0 \), to prosta jest r贸wnoleg艂a do osi \( OX \),
je偶eli \( B=0 \), to prosta jest r贸wnoleg艂a do osi \( OY \);
je偶eli \( C=0 \), to prosta przechodzi przez pocz膮tek uk艂adu wsp贸艂rz臋dnych.


Wzory maturalne - Geometria analityczna
Je偶eli prosta nie jest r贸wnoleg艂a do osi Oy, to ma ona r贸wnanie kierunkowe:
\[ y=ax+b \]
Liczba \( a \) to wsp贸艂czynnik kierunkowy prostej:
\[ a=tg \alpha \]
Wsp贸艂czynnik \( a \) wyznacza na osi \( OY\) punkt, w kt贸rym dana prosta j膮 przecina.
R贸wnanie kierunkowe prostej o wsp贸艂czynniku kierunkowym \( a \), kt贸ra przechodzi przez punkt \( P=\left(x_{0},y_{0} \right) \)
\[ y=a\left(x-x_{0} \right)+y_{0} \]
R贸wnanie prostej, kt贸ra przechodzi przez dwa dane punkty \( A=\left(x_{A},y_{A} \right) \)

\[ \left(y-y_{A} \right)\left(x_{B}-x_{A} \right)-\left(y_{B}-y_{A} \right)\left(x-x_{A} \right)=0 \]

Prosta i punkt

Odleg艂o艣膰 punktu \( P=\left(x_{0},y_{0} \right) \) od prostej o r贸wnaniu \( Ax+By+C=0 \) jest dana wzorem:

\[ \frac{\left|A_{x_{0}} +B_{x_{0}}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \]

Para prostych

Dwie proste o r贸wnaniach kierunkowych: \( y=a_{1}x+b \)\( y=a_{2}x+b \) spe艂niaj膮 jeden z nast臋puj膮cych warunk贸w:

  • s膮 r贸wnoleg艂e, gdy: \( a_{1}=a_{2} \)
  • s膮 prostopad艂e, gdy: \( a_{1}*a_{2}=-1 \)

R贸wnanie okr臋gu

R贸wnanie okr臋gu o 艣rodku w punkcie \( S=\left(a, b \right) \) i promieniu \( r>0 \):

\[ \left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2} \]