Geometria analityczna

Wzory maturalne - Geometria analityczna

Odcinek

Długość odcinka o końcach w punktach: \( A=\left(x_{A},y_{A} \right) \), \( B=\left(x_{B},y_{B} \right) \) jest dana wzorem:
\[ \left|AB \right|=\sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left( y_{B}-y_{A}\right)^{2}} \]
Współrzędne środka odcinka \( AB \):
\[ \left(\frac{x_{A}+x_{B}}{2}, \frac{y_{A}+y_{B}}{2}\right) \]

Prosta

Równanie ogólne prostej:

\[ Ax+By+C=0 \]
gdzie współczynniki \( A \), \( B \) nie są równocześnie równe 0.

Jeżeli \( A=0 \), to prosta jest równoległa do osi \( OX \),
jeżeli \( B=0 \), to prosta jest równoległa do osi \( OY \);
jeżeli \( C=0 \), to prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych.


Wzory maturalne - Geometria analityczna
Jeżeli prosta nie jest równoległa do osi Oy, to ma ona równanie kierunkowe:
\[ y=ax+b \]
Liczba \( a \) to współczynnik kierunkowy prostej:
\[ a=tg \alpha \]
Współczynnik \( a \) wyznacza na osi \( OY\) punkt, w którym dana prosta ją przecina.
Równanie kierunkowe prostej o współczynniku kierunkowym \( a \), która przechodzi przez punkt \( P=\left(x_{0},y_{0} \right) \)
\[ y=a\left(x-x_{0} \right)+y_{0} \]
Równanie prostej, która przechodzi przez dwa dane punkty \( A=\left(x_{A},y_{A} \right) \)

\[ \left(y-y_{A} \right)\left(x_{B}-x_{A} \right)-\left(y_{B}-y_{A} \right)\left(x-x_{A} \right)=0 \]

Prosta i punkt

Odległość punktu \( P=\left(x_{0},y_{0} \right) \) od prostej o równaniu \( Ax+By+C=0 \) jest dana wzorem:

\[ \frac{\left|A_{x_{0}} +B_{x_{0}}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \]

Para prostych

Dwie proste o równaniach kierunkowych: \( y=a_{1}x+b \)\( y=a_{2}x+b \) spełniają jeden z następujących warunków:

  • są równoległe, gdy: \( a_{1}=a_{2} \)
  • są prostopadłe, gdy: \( a_{1}*a_{2}=-1 \)

Równanie okręgu

Równanie okręgu o środku w punkcie \( S=\left(a, b \right) \) i promieniu \( r>0 \):

\[ \left(x-a \right)^{2}+\left(y-b \right)^{2}=r^{2} \]