Postać ogólna funkcji kwadratowej:
Przy założeniu, że \( a \) nie jest zerem i \( x \) należy do zbioru liczb rzeczywistych!
Każdą funkcję kwadratową możemy przedstawić w postaci kanonicznej:
gdzie: \( p=-\frac{b}{2a} \), \( q=-\frac{\Delta}{4a} \), \( \Delta =b^{2}-4ac \)
Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchołku w punkcie o współrzędnych \( p \) i \( q \). Ramiona paraboli skierowane są do góry, gdy \( a<0 \), do dołu, gdy \( a>0\). Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej \( f\left(x \right)=ax^{2}+bx+c \) liczba pierwiastków trójmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiązań równania \( ax^{2}+bx+c=0 \) zależy od wyróżnika: \( \Delta =b^{2}-4ac \):
- jeżeli \( \Delta < 0 \), to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trójmian kwadratowy nie ma pierwiastków rzeczywistych, równanie kwadratowe nie ma rozwiązań rzeczywistych),
- jeżeli \( \Delta =0 \), to funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwójny, równanie kwadratowe ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste):
\[ x_{1}=x_{2}=-\frac{b}{2a} \]
- jeżeli \( \Delta > 0 \), to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trójmian kwadratowy ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste, równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania rzeczywiste):
\[ x_{1}=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a} \]\[ x_{2}=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a} \]
Jeżeli \( \Delta \geq 0 \), to wzór funkcji kwadratowej można doprowadzić do postaci iloczynowej:
Wzory Viéte’a
Jeżeli \( \Delta \geq 0 \), to: