Wzory skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( (2 a-3)^{2}-(2 a+3)^{2} = \)

\( =[(2 a-3)-(2 a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( = (-6) \cdot 4a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( 9-(y-3)^{2}=9-(y^{2}-6y+9)= \)

\( =-y^{2}+6y \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (3x+1+y)^{2}=((3x+1)+y)^{2}= \)

\( =(3x+1)^{2}+2(3x+1)y+y^{2}= \)

\( =(9x^{2}+6x+1)+6xy+2y+y^{2} \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

A więc:

\( (3x-2)^{2}-(2x-3)(2x+3)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-(4x^{2}-9)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-4x^{2}+9= \)

\( =5x^{2}-12x+13 \)

Liczymy:

\( (8-3\sqrt{7})^{2}=8^{2}-2\cdot 8\cdot 3\sqrt{7}+(3\sqrt{7})^{2}= \)

\( =64-48\sqrt{7}+9\cdot 7=64-48\sqrt{7}+63= \)

\( =127-48\sqrt{7} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( x^{2}-6x+9=(x-3)^{2} \)

\( (\sqrt{3}+3-3)^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3 \)

Zauważmy, że:

\( Q(x)=(1-x)(1+x)= 1^{2}-x^{2}=1-x^{2} \)

Wymnażamy dane wielomiany:

\( (2x^{2}-1)(x^{3}+x)(1-x^{2})=(2x^{5}+2x^{3}-x^{3}-x)(1-x^{2})= \)

\( =(2x^{5}+x^{3}-x)(1-x^{2})=(2x^{5}+x^{3}-x-2x^{7}-x^{5}+x^{3})= \)

\( =-2x^{7}+x^{5}+2x^{3}-x \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

W naszej sytuacji mamy \( a=2x\) i \( b=10\). Mamy zatem:

\( 4x^{2}- 100=(2x)^{2}-10^{2}= \)

\( =(2x-10)(2x+10) \)

Przekształcamy daną równość:

\( (a+2\sqrt{2})^{2}=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( a^{2}+4\sqrt{2}a+8=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( 4\sqrt{2}a=28\sqrt{2}~~\Rightarrow ~~a=7 \)

Liczymy:

\( (2x-3) (-4x^{2}-6x-9)=\)

\( =-(2x-3)(4x^{2}+6x+9)=\)

\( =-(8x^{3}+12x^{2}+18x-12x^{2}-18x-27)= \)

\( = -(8x^{3}-27)=-8x^{3}+27\)

Usuwamy niewymierność z mianownika:

\( 2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2}-1 }=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}= \)

\( =2\sqrt{2}-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=-3 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Mamy zatem:

\( \left ( a+b \right )^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \)

\( (3x + 8y)^{2} = (3x)^{2} + 2\cdot 3x \cdot 8y + (8y)^{2} = \)

\( = 9x^{2} + 48xy + 64y^{2} \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (2-3\sqrt{2})^{2}=2^{2}-2\cdot 2\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

\( (x-1)^{2}-(2-x)^{2}= \)

\( =x^{2}-2x+1-(4-4x+x^{2})=2x-3 \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \) Mamy więc:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{15}= \)

\( =5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \)

\( =8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8 \)

Zauważmy, że:

\( \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \)

Zatem:

\( (b-a)^{2}=(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^{2}=(3\sqrt{3})^{2}=27 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} \)

Mamy więc:

\( 3a^{2}-12ab+12b^{2}=3(a^{2}-4ab+4b^{2})= \)

\( =3(a-2b)^{2} \)

Obliczamy iloczyn obu wyrażeń:

\( \left ( 3x^{3}-2x \right ) \cdot \left ( -3x^{2}-2 \right )= \)

\( -9x^{5}-6x^{3}+6x^{3}+4x=-9x^{5}+4x \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

\( (a+5^{2})=a^{2}+10a+25 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2a-3)^{2}-(2a+3)^{2}= \)

\( =[(2a-3)-(2a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( =(-6) \cdot 4 a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( 16-(3x+1)^{2}=4^{2}-(3x+1)^{2}= \)

\( =(4+3x+1)(4-(3x+1)= \)

\( =(3x+5)(3-3x) \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( (2\sqrt{7}-5)^{2}\cdot (2\sqrt{7}+5)^{2}=((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5))^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7})^{2}-5^{2})^{2}=(28-25)^{2}=3^{2}=9 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (3x^{2}-2)^{2}=(3x^{2})^{2}-2 \cdot (3x^{2})\cdot 2+2^{2}= \)

\( =9x^{4}-12x^{2}+4 \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (4+x)(4-x)-(1-x)^{2}=16-x^{2}-(1-2x+x^{2})= \)

\( =16-x^{2}-1+2x-x^{2}=15+2x-2x^{2} \)

Różnica kwadratów dwóch kolejnych nieparzystych liczb naturalnych to:

\( (2n+3)^{2}-(2n+1)^{2} \)

Dane zdanie możemy więc zapisać w postaci:

\( (2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}\geqslant 5 \)