Wzory skróconego mnożenia

Liczymy:

\( \sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})= \)

\( =2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} \)

Mamy więc:

\( 3a^{2}-12ab+12b^{2}=3(a^{2}-4ab+4b^{2})= \)

\( =3(a-2b)^{2} \)

Liczymy (usuwamy niewymierność z mianownika):

\( \frac{5^{3}\cdot 25}{\sqrt{5}}=\frac{5^{3}\cdot 5^{2}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5^{5}\sqrt{5}}{5}=5^{4}\sqrt{5} \)

Zauważmy, że:

\( \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \)

Zatem:

\( (b-a)^{2}=(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^{2}=(3\sqrt{3})^{2}=27 \)

Zauważmy, że:

\( Q(x)=(1-x)(1+x)= 1^{2}-x^{2}=1-x^{2} \)

Wymnażamy dane wielomiany:

\( (2x^{2}-1)(x^{3}+x)(1-x^{2})=(2x^{5}+2x^{3}-x^{3}-x)(1-x^{2})= \)

\( =(2x^{5}+x^{3}-x)(1-x^{2})=(2x^{5}+x^{3}-x-2x^{7}-x^{5}+x^{3})= \)

\( =-2x^{7}+x^{5}+2x^{3}-x \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+2\sqrt{3})^{2}=a^{2}+4a\sqrt{3}+12 \)

\( a^{2}+4a\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3} \)

Aby lewa strona była równa prawej to:

\( 4a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\Rightarrow a=1 \)

\( a^{2}+12=13\Rightarrow a=1 \)

Oba równania spełnione są dla \( a=1 \).

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Mamy zatem:

\( \left ( a+b \right )^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2} \)

\( (3x + 8y)^{2} = (3x)^{2} + 2\cdot 3x \cdot 8y + (8y)^{2} = \)

\( = 9x^{2} + 48xy + 64y^{2} \)

Liczymy:

\( W(x)=(x^{3}-5x^{2})-3(x-5)=\)

\( =x^{2}(x-5)-3(x-5)=(x-5)(x^{2}-3)= \)

\( =(x-5)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2\sqrt{7}-5)^{2}\cdot (2\sqrt{7}+5)^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5))^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7})^{2}-5^{2})^{2}=(28-25)^{2}=3^{2}=9 \)

Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:

\( a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ) \)

Po podstawieniu otrzymujemy:

\( 27x^{3}+y^{3}=\left ( 3x \right )^{3}+y^{3}= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( \left ( 3x \right )^{2}-\left ( 3x \right )y+y^{2} \right )= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( 9x^{2}-3xy+y^{2} \right ) \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( \left ( \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right )^{2}=\frac{(3+\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{3}= \)

\( =\frac{12+6\sqrt{3}}{3}=4+2\sqrt{3} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

\( (a+5^{2})=a^{2}+10a+25 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}=5+2\cdot \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}+12= \)

\( =17+4\sqrt{15} \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (x-3)^{2}-(x+1)(x-1)= \)

\(=(x^{2}-6x+9)- (x^{2}-1)= \)

\( =x^{2}-6x+9-x^{2}+1= \)

\( =10-6x \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

\( (x-1)^{2}-(2-x)^{2}= \)

\( =x^{2}-2x+1-(4-4x+x^{2})=2x-3 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy oraz różnice kwadratów:

\( (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

Mamy zatem:

\( (2x+3)^{3}=8x^{3}+36x^{2}+54x+27 \)

\( (x-5)(x+5)=x^{2}-25 \)

Po podstawieniu do naszego równania otrzymujemy:

\( 8x^{3}+36x^{2}+54x+27-(x^{2}-25)= \)

\( =8x^{3}+36x^{2}+54x+27-x^{2}+25= \)

\( =8x^{3}+35x^{2}+54x+52 \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \) Mamy więc:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{15}= \)

\( =5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \)

\( =8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8 \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

A więc:

\( (3x-2)^{2}-(2x-3)(2x+3)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-(4x^{2}-9)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-4x^{2}+9= \)

\( =5x^{2}-12x+13 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =(2\sqrt{8})^{2}-2\cdot 2\sqrt{8}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =32-12\cdot \sqrt{16}+18=50-48=2 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( (2 a-3)^{2}-(2 a+3)^{2} = \)

\( =[(2 a-3)-(2 a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( = (-6) \cdot 4a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

W naszej sytuacji mamy \( a=2x\) i \( b=10\). Mamy zatem:

\( 4x^{2}- 100=(2x)^{2}-10^{2}= \)

\( =(2x-10)(2x+10) \)

Obliczamy iloczyn obu wyrażeń:

\( \left ( 3x^{3}-2x \right ) \cdot \left ( -3x^{2}-2 \right )= \)

\( -9x^{5}-6x^{3}+6x^{3}+4x=-9x^{5}+4x \)

Usuwamy niewymierność z mianownika:

\( 2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2}-1 }=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}= \)

\( =2\sqrt{2}-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=-3 \)

Zauważmy najpierw, że:

\( x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1 \)

\( x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2} \)

Więc:

\( (\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1))^{2}= \)

\( =(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^{2}=2^{2}=4 \)

Na mocy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów mamy:

\( a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right ) \)

\( 200=\left ( a-b \right ) \cdot 8 \)

\( a-b=25 \)