Wzory skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

Mamy więc:

\( 50001^{2}-49999^{2}=(50001-49999)(50001+49999)= \)

\( =2\cdot 100~000=200~000 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}=5+2\cdot \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}+12= \)

\( =17+4\sqrt{15} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =(2\sqrt{8})^{2}-2\cdot 2\sqrt{8}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =32-12\cdot \sqrt{16}+18=50-48=2 \)

Usuwamy niewymierność z mianownika:

\( 2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2}-1 }=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}= \)

\( =2\sqrt{2}-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=-3 \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (4+x)(4-x)-(1-x)^{2}=16-x^{2}-(1-2x+x^{2})= \)

\( =16-x^{2}-1+2x-x^{2}=15+2x-2x^{2} \)

Liczymy (usuwamy niewymierność z mianownika):

\( \frac{5^{3}\cdot 25}{\sqrt{5}}=\frac{5^{3}\cdot 5^{2}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5^{5}\sqrt{5}}{5}=5^{4}\sqrt{5} \)

Liczymy:

\( (2x-3) (-4x^{2}-6x-9)=\)

\( =-(2x-3)(4x^{2}+6x+9)=\)

\( =-(8x^{3}+12x^{2}+18x-12x^{2}-18x-27)= \)

\( = -(8x^{3}-27)=-8x^{3}+27\)

Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:

\( a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ) \)

Po podstawieniu otrzymujemy:

\( 27x^{3}+y^{3}=\left ( 3x \right )^{3}+y^{3}= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( \left ( 3x \right )^{2}-\left ( 3x \right )y+y^{2} \right )= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( 9x^{2}-3xy+y^{2} \right ) \)

Na mocy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów mamy:

\( a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right ) \)

\( 200=\left ( a-b \right ) \cdot 8 \)

\( a-b=25 \)

Liczymy (sprowadzamy do wspólnego mianownika).

\( \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}= \)

\( =\frac{2(\sqrt{3}+1)-2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}= \)

\( =\frac{4}{3-1}=2 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

\( (a+5^{2})=a^{2}+10a+25 \)

Przekształcamy daną równość:

\( (a+2\sqrt{2})^{2}=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( a^{2}+4\sqrt{2}a+8=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( 4\sqrt{2}a=28\sqrt{2}~~\Rightarrow ~~a=7 \)

Liczymy:

\( (8-3\sqrt{7})^{2}=8^{2}-2\cdot 8\cdot 3\sqrt{7}+(3\sqrt{7})^{2}= \)

\( =64-48\sqrt{7}+9\cdot 7=64-48\sqrt{7}+63= \)

\( =127-48\sqrt{7} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

\( (x-1)^{2}-(2-x)^{2}= \)

\( =x^{2}-2x+1-(4-4x+x^{2})=2x-3 \)

Różnica kwadratów dwóch kolejnych nieparzystych liczb naturalnych to:

\( (2n+3)^{2}-(2n+1)^{2} \)

Dane zdanie możemy więc zapisać w postaci:

\( (2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}\geqslant 5 \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (x-3)^{2}-(x+1)(x-1)= \)

\(=(x^{2}-6x+9)- (x^{2}-1)= \)

\( =x^{2}-6x+9-x^{2}+1= \)

\( =10-6x \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( (2\sqrt{7}-5)^{2}\cdot (2\sqrt{7}+5)^{2}=((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5))^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7})^{2}-5^{2})^{2}=(28-25)^{2}=3^{2}=9 \)

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów mamy:

\( 17^{3} + m^{3} = \left ( 17 + m \right )\left ( 17^{2} - 17m +m^{2} \right ) \)

Widać teraz, że jeżeli \( m = 2\), to liczba ta jest podzielna przez \( 19\).

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \) Mamy więc:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{15}= \)

\( =5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \)

\( =8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( 9-(y-3)^{2}=9-(y^{2}-6y+9)= \)

\( =-y^{2}+6y \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( (2 a-3)^{2}-(2 a+3)^{2} = \)

\( =[(2 a-3)-(2 a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( = (-6) \cdot 4a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2a-3)^{2}-(2a+3)^{2}= \)

\( =[(2a-3)-(2a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( =(-6) \cdot 4 a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} \)

Mamy więc:

\( 3a^{2}-12ab+12b^{2}=3(a^{2}-4ab+4b^{2})= \)

\( =3(a-2b)^{2} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (3x^{2}-2)^{2}=(3x^{2})^{2}-2 \cdot (3x^{2})\cdot 2+2^{2}= \)

\( =9x^{4}-12x^{2}+4 \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (2-3\sqrt{2})^{2}=2^{2}-2\cdot 2\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2} \)