Wzory skróconego mnożenia

Liczymy:

\( (2x-3) (-4x^{2}-6x-9)=\)

\( =-(2x-3)(4x^{2}+6x+9)=\)

\( =-(8x^{3}+12x^{2}+18x-12x^{2}-18x-27)= \)

\( = -(8x^{3}-27)=-8x^{3}+27\)

Usuwamy niewymierność z mianownika:

\( 2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2}-1 }=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}= \)

\( =2\sqrt{2}-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=-3 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy oraz różnice kwadratów:

\( (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

Mamy zatem:

\( (2x+3)^{3}=8x^{3}+36x^{2}+54x+27 \)

\( (x-5)(x+5)=x^{2}-25 \)

Po podstawieniu do naszego równania otrzymujemy:

\( 8x^{3}+36x^{2}+54x+27-(x^{2}-25)= \)

\( =8x^{3}+36x^{2}+54x+27-x^{2}+25= \)

\( =8x^{3}+35x^{2}+54x+52 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( 16-(3x+1)^{2}=4^{2}-(3x+1)^{2}= \)

\( =(4+3x+1)(4-(3x+1)= \)

\( =(3x+5)(3-3x) \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2a-3)^{2}-(2a+3)^{2}= \)

\( =[(2a-3)-(2a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( =(-6) \cdot 4 a=-24a \)

Liczymy:

\( \left ( 5+2\sqrt{3} \right )^{2}=5^{2}+2\cdot 5\cdot 2\sqrt{3}+\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}= \)

\( =25+20\sqrt{3}+12= 37+20\sqrt{3} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( x^{2}-6x+9=(x-3)^{2} \)

\( (\sqrt{3}+3-3)^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3 \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \) Mamy więc:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{15}= \)

\( =5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \)

\( =8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8 \)

Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:

\( a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ) \)

Po podstawieniu otrzymujemy:

\( 27x^{3}+y^{3}=\left ( 3x \right )^{3}+y^{3}= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( \left ( 3x \right )^{2}-\left ( 3x \right )y+y^{2} \right )= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( 9x^{2}-3xy+y^{2} \right ) \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}=5+2\cdot \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}+12= \)

\( =17+4\sqrt{15} \)

Przekształcamy daną równość:

\( (a+2\sqrt{2})^{2}=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( a^{2}+4\sqrt{2}a+8=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( 4\sqrt{2}a=28\sqrt{2}~~\Rightarrow ~~a=7 \)

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów mamy:

\( 17^{3} + m^{3} = \left ( 17 + m \right )\left ( 17^{2} - 17m +m^{2} \right ) \)

Widać teraz, że jeżeli \( m = 2\), to liczba ta jest podzielna przez \( 19\).

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( \left ( \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right )^{2}=\frac{(3+\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{3}= \)

\( =\frac{12+6\sqrt{3}}{3}=4+2\sqrt{3} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =(2\sqrt{8})^{2}-2\cdot 2\sqrt{8}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =32-12\cdot \sqrt{16}+18=50-48=2 \)

Zauważmy najpierw, że:

\( x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1 \)

\( x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2} \)

Więc:

\( (\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1))^{2}= \)

\( =(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^{2}=2^{2}=4 \)

Różnica kwadratów dwóch kolejnych nieparzystych liczb naturalnych to:

\( (2n+3)^{2}-(2n+1)^{2} \)

Dane zdanie możemy więc zapisać w postaci:

\( (2n+3)^{2}-(2n+1)^{2}\geqslant 5 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( (2 a-3)^{2}-(2 a+3)^{2} = \)

\( =[(2 a-3)-(2 a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( = (-6) \cdot 4a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy.

\( (x-1)^{2}-(2-x)^{2}= \)

\( =x^{2}-2x+1-(4-4x+x^{2})=2x-3 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Podstawiamy do wzoru i otrzymujemy:

\( (3-\sqrt{2})^{2}+4(2-\sqrt{2})= \)

\( =3^{2}-2\cdot3\cdot\sqrt{2}+(\sqrt{2})^{2}+8-4\sqrt{2}= \)

\( =9-6\sqrt{2}+2+8-4\sqrt{2}=19-10\sqrt{2} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (3x^{2}-2)^{2}=(3x^{2})^{2}-2 \cdot (3x^{2})\cdot 2+2^{2}= \)

\( =9x^{4}-12x^{2}+4 \)

Liczymy:

\( \sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})= \)

\( =2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1 \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (2-3\sqrt{2})^{2}=2^{2}-2\cdot 2\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =4-12\sqrt{2}+18=22-12\sqrt{2} \)

Obliczamy iloczyn obu wyrażeń:

\( \left ( 3x^{3}-2x \right ) \cdot \left ( -3x^{2}-2 \right )= \)

\( -9x^{5}-6x^{3}+6x^{3}+4x=-9x^{5}+4x \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (4+x)(4-x)-(1-x)^{2}=16-x^{2}-(1-2x+x^{2})= \)

\( =16-x^{2}-1+2x-x^{2}=15+2x-2x^{2} \)

Mnożymy licznik i mianownik przez \( \sqrt{5}+2 \).

\( \frac{(\sqrt{5}+2)^{2}}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5} \)