Wzory skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (2\sqrt{8}-3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =(2\sqrt{8})^{2}-2\cdot 2\sqrt{8}\cdot 3\sqrt{2}+(3\sqrt{2})^{2}= \)

\( =32-12\cdot \sqrt{16}+18=50-48=2 \)

Liczymy:

\( (2x-3) (-4x^{2}-6x-9)=\)

\( =-(2x-3)(4x^{2}+6x+9)=\)

\( =-(8x^{3}+12x^{2}+18x-12x^{2}-18x-27)= \)

\( = -(8x^{3}-27)=-8x^{3}+27\)

Liczymy:

\( \sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})= \)

\( =2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1 \)

Rozpocznijmy od wyznaczenia pierwiastków danego wielomianu:

\( 4x^{3}-x^{2}-4x+1= \)

\( =x^{2}(4x-1)-(4x-1)= \)

\( =(x^{2}-1)(4x-1)= \)

\( =4(x-1)(x+1)\left ( x-\frac{1}{4} \right ) \)

Wielomian \( W(x)\) ma zatem trzy pierwiastki \( \left \{ -1,\frac{1}{4},1 \right \}\) i suma ich odwrotności jest równa:

\( -1+4+1=4 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( 16-(3x+1)^{2}=4^{2}-(3x+1)^{2}= \)

\( =(4+3x+1)(4-(3x+1)= \)

\( =(3x+5)(3-3x) \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (4+x)(4-x)-(1-x)^{2}=16-x^{2}-(1-2x+x^{2})= \)

\( =16-x^{2}-1+2x-x^{2}=15+2x-2x^{2} \)

Liczymy (usuwamy niewymierność z mianownika):

\( \frac{5^{3}\cdot 25}{\sqrt{5}}=\frac{5^{3}\cdot 5^{2}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5^{5}\sqrt{5}}{5}=5^{4}\sqrt{5} \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (x-3)^{2}-(x+1)(x-1)= \)

\(=(x^{2}-6x+9)- (x^{2}-1)= \)

\( =x^{2}-6x+9-x^{2}+1= \)

\( =10-6x \)

Liczymy:

\( W(x)=(x^{3}-5x^{2})-3(x-5)=\)

\( =x^{2}(x-5)-3(x-5)=(x-5)(x^{2}-3)= \)

\( =(x-5)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \)

Zauważmy, że:

\( \sqrt{75}=\sqrt{25\cdot 3}=5\sqrt{3} \)

Zatem:

\( (b-a)^{2}=(5\sqrt{3}-2\sqrt{3})^{2}=(3\sqrt{3})^{2}=27 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2\sqrt{7}-5)^{2}\cdot (2\sqrt{7}+5)^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5))^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7})^{2}-5^{2})^{2}=(28-25)^{2}=3^{2}=9 \)

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów mamy:

\( 17^{3} + m^{3} = \left ( 17 + m \right )\left ( 17^{2} - 17m +m^{2} \right ) \)

Widać teraz, że jeżeli \( m = 2\), to liczba ta jest podzielna przez \( 19\).

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2a-3)^{2}-(2a+3)^{2}= \)

\( =[(2a-3)-(2a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( =(-6) \cdot 4 a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

\( (a+5^{2})=a^{2}+10a+25 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \)

Mamy więc:

\( (\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}=5+2\cdot \sqrt{5}\cdot 2\sqrt{3}+12= \)

\( =17+4\sqrt{15} \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \) Mamy więc:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{15}= \)

\( =5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \)

\( =8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8 \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

A więc:

\( (3x-2)^{2}-(2x-3)(2x+3)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-(4x^{2}-9)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-4x^{2}+9= \)

\( =5x^{2}-12x+13 \)

Mnożymy licznik i mianownik przez \( \sqrt{5}+2 \).

\( \frac{(\sqrt{5}+2)^{2}}{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)}=\frac{5+4\sqrt{5}+4}{5-4}=9+4\sqrt{5} \)

Liczymy:

\( \left ( 5+2\sqrt{3} \right )^{2}=5^{2}+2\cdot 5\cdot 2\sqrt{3}+\left ( 2\sqrt{3} \right )^{2}= \)

\( =25+20\sqrt{3}+12= 37+20\sqrt{3} \)

Przekształcamy daną równość:

\( (a+2\sqrt{2})^{2}=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( a^{2}+4\sqrt{2}a+8=a^{2}+28\sqrt{2}+8 \)

\( 4\sqrt{2}a=28\sqrt{2}~~\Rightarrow ~~a=7 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} \)

Mamy więc:

\( 3a^{2}-12ab+12b^{2}=3(a^{2}-4ab+4b^{2})= \)

\( =3(a-2b)^{2} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( (2 a-3)^{2}-(2 a+3)^{2} = \)

\( =[(2 a-3)-(2 a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( = (-6) \cdot 4a=-24a \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

W naszej sytuacji mamy \( a=2x\) i \( b=10\). Mamy zatem:

\( 4x^{2}- 100=(2x)^{2}-10^{2}= \)

\( =(2x-10)(2x+10) \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (3x+1+y)^{2}=((3x+1)+y)^{2}= \)

\( =(3x+1)^{2}+2(3x+1)y+y^{2}= \)

\( =(9x^{2}+6x+1)+6xy+2y+y^{2} \)

Usuwamy niewymierność z mianownika:

\( 2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2}-1 }=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}= \)

\( =2\sqrt{2}-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=-3 \)