Wzory skróconego mnożenia

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2} \)

Mamy więc:

\( 3a^{2}-12ab+12b^{2}=3(a^{2}-4ab+4b^{2})= \)

\( =3(a-2b)^{2} \)

Liczymy korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \) Mamy więc:

\( (\sqrt{5}-\sqrt{3})^{2}+2\sqrt{15}= \)

\( =5-2\sqrt{15}+3+2\sqrt{15}= \)

\( =8-2\sqrt{15}+2\sqrt{15}=8 \)

Liczymy:

\( (8-3\sqrt{7})^{2}=8^{2}-2\cdot 8\cdot 3\sqrt{7}+(3\sqrt{7})^{2}= \)

\( =64-48\sqrt{7}+9\cdot 7=64-48\sqrt{7}+63= \)

\( =127-48\sqrt{7} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( \left ( \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right )^{2}=\frac{(3+\sqrt{3})^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}=\frac{9+6\sqrt{3}+3}{3}= \)

\( =\frac{12+6\sqrt{3}}{3}=4+2\sqrt{3} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy oraz różnice kwadratów:

\( (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\)

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

Mamy zatem:

\( (2x+3)^{3}=8x^{3}+36x^{2}+54x+27 \)

\( (x-5)(x+5)=x^{2}-25 \)

Po podstawieniu do naszego równania otrzymujemy:

\( 8x^{3}+36x^{2}+54x+27-(x^{2}-25)= \)

\( =8x^{3}+36x^{2}+54x+27-x^{2}+25= \)

\( =8x^{3}+35x^{2}+54x+52 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+2\sqrt{3})^{2}=a^{2}+4a\sqrt{3}+12 \)

\( a^{2}+4a\sqrt{3}+12=13+4\sqrt{3} \)

Aby lewa strona była równa prawej to:

\( 4a\sqrt{3}=4\sqrt{3}\Rightarrow a=1 \)

\( a^{2}+12=13\Rightarrow a=1 \)

Oba równania spełnione są dla \( a=1 \).

Rozpocznijmy od wyznaczenia pierwiastków danego wielomianu:

\( 4x^{3}-x^{2}-4x+1= \)

\( =x^{2}(4x-1)-(4x-1)= \)

\( =(x^{2}-1)(4x-1)= \)

\( =4(x-1)(x+1)\left ( x-\frac{1}{4} \right ) \)

Wielomian \( W(x)\) ma zatem trzy pierwiastki \( \left \{ -1,\frac{1}{4},1 \right \}\) i suma ich odwrotności jest równa:

\( -1+4+1=4 \)

Obliczamy iloczyn obu wyrażeń:

\( \left ( 3x^{3}-2x \right ) \cdot \left ( -3x^{2}-2 \right )= \)

\( -9x^{5}-6x^{3}+6x^{3}+4x=-9x^{5}+4x \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

A więc:

\( (3x-2)^{2}-(2x-3)(2x+3)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-(4x^{2}-9)= \)

\( =9x^{2}-12x+4-4x^{2}+9= \)

\( =5x^{2}-12x+13 \)

Na mocy wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów mamy:

\( a^{2}-b^{2}=\left ( a-b \right )\left ( a+b \right ) \)

\( 200=\left ( a-b \right ) \cdot 8 \)

\( a-b=25 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy:

\( (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (3x+1+y)^{2}=((3x+1)+y)^{2}= \)

\( =(3x+1)^{2}+2(3x+1)y+y^{2}= \)

\( =(9x^{2}+6x+1)+6xy+2y+y^{2} \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2a-3)^{2}-(2a+3)^{2}= \)

\( =[(2a-3)-(2a+3)][(2 a-3)+(2 a+3)]= \)

\( =(-6) \cdot 4 a=-24a \)

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów mamy:

\( 17^{3} + m^{3} = \left ( 17 + m \right )\left ( 17^{2} - 17m +m^{2} \right ) \)

Widać teraz, że jeżeli \( m = 2\), to liczba ta jest podzielna przez \( 19\).

Liczymy:

\( (2x-3) (-4x^{2}-6x-9)=\)

\( =-(2x-3)(4x^{2}+6x+9)=\)

\( =-(8x^{3}+12x^{2}+18x-12x^{2}-18x-27)= \)

\( = -(8x^{3}-27)=-8x^{3}+27\)

Liczymy (sprowadzamy do wspólnego mianownika).

\( \frac{2}{\sqrt{3}-1}-\frac{2}{\sqrt{3}+1}= \)

\( =\frac{2(\sqrt{3}+1)-2(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)}= \)

\( =\frac{4}{3-1}=2 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:

\( a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b) \)

W naszej sytuacji mamy \( a=2x\) i \( b=10\). Mamy zatem:

\( 4x^{2}- 100=(2x)^{2}-10^{2}= \)

\( =(2x-10)(2x+10) \)

Korzystamy z wzoru skróconego mnożenia:

\( a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right ) \)

Po podstawieniu otrzymujemy:

\( 27x^{3}+y^{3}=\left ( 3x \right )^{3}+y^{3}= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( \left ( 3x \right )^{2}-\left ( 3x \right )y+y^{2} \right )= \)

\( =\left ( 3x+y \right )\left ( 9x^{2}-3xy+y^{2} \right ) \)

Liczymy (usuwamy niewymierność z mianownika):

\( \frac{5^{3}\cdot 25}{\sqrt{5}}=\frac{5^{3}\cdot 5^{2}}{\sqrt{5}}\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\frac{5^{5}\sqrt{5}}{5}=5^{4}\sqrt{5} \)

Zauważmy najpierw, że:

\( x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1=\frac{2\sqrt{2}}{2}+1=\sqrt{2}+1 \)

Zauważmy też, że:

\( x^{2}-2xy+y^{2}=(x-y)^{2} \)

Więc:

\( (\sqrt{2}+1-(\sqrt{2}-1))^{2}= \)

\( =(\sqrt{2}+1-\sqrt{2}+1)^{2}=2^{2}=4 \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

\( (2\sqrt{7}-5)^{2}\cdot (2\sqrt{7}+5)^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7}-5)(2\sqrt{7}+5))^{2}= \)

\( =((2\sqrt{7})^{2}-5^{2})^{2}=(28-25)^{2}=3^{2}=9 \)

Liczymy:

\( \sqrt{2}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})+\sqrt{3}\cdot (\sqrt{2}-\sqrt{3})= \)

\( =2-\sqrt{6}+\sqrt{6}-3=-1 \)

Usuwamy niewymierność z mianownika:

\( 2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2}+1 }{\sqrt{2}-1 }=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)}= \)

\( =2\sqrt{2}-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=-3 \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (x-3)^{2}-(x+1)(x-1)= \)

\(=(x^{2}-6x+9)- (x^{2}-1)= \)

\( =x^{2}-6x+9-x^{2}+1= \)

\( =10-6x \)

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (3x^{2}-2)^{2}=(3x^{2})^{2}-2 \cdot (3x^{2})\cdot 2+2^{2}= \)

\( =9x^{4}-12x^{2}+4 \)

Liczymy:

\( W(x)=(x^{3}-5x^{2})-3(x-5)=\)

\( =x^{2}(x-5)-3(x-5)=(x-5)(x^{2}-3)= \)

\( =(x-5)(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3}) \)