Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: ciąg arytmetyczny, suma początkowych wyrazów ciągu, wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.
Treść zadania
Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left( a_{n}\right) \), gdzie \( n\geq 1 \). Wiadmomo, że dla kadego \( n\geq 1 \) suma \( n \) początkowych wyrazów \( S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \) wyraża się wzorem: \( S_{n}=-n^{2}+13n \).
a) Wyznacz wzór na n–ty wyraz ciągu \( a_{n} \).
b) Oblicz \( a_{2007} \).
c) Wyznacz liczbę \( n \), dla której \( a_{n}=0 \).
Podpowiedź do zadania
a) wzór na sumę n-tych początkowych wyrazów ciągu, możemy napisać w następujący sposób: \[ S_{n}=a_{n}-S_{n-1} \] Wykorzystując tą zależność obliczamy \( a_{n} \)b) korzystając z wyliczonego w punkcie wyżej wzoru obliczamy \( a_{n} \)
c) Skoro \( a_{n}=0 \) to przyrównujemy wzór wyliczony w punkcie a do zera i obliczamy \( n \).
Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Ciągi arytmetyczne
Rozwiązanie zadania
Wzór na sumę n-tych początkowych wyrazów ciągu, możemy napisać w następujący sposób:
\[ S_{n}=a_{n}+S_{n-1} \]
Wykorzystując tą zależność obliczamy \( a_{n} \):
\[ a_{n}=S_{n}-S_{n-1}= \]\[ =-n^{2}+13n-\left(-\left(n-1 \right)^{2} +13\left(n-1 \right)\right)= \]\[ =-n^{2}+13n+n^{2}-2n+1-13n+13= \]\[ =-2n+14 \]
Korzystając z wyliczonego w punkcie wyżej wzoru obliczamy \( a_{n} \)
\[ a_{2007}=-2\cdot 2007+14=-4000 \]
Skoro \( a_{n}=0 \) to przyrównujemy wzór wyliczony w punkcie \( a \) do zera i obliczamy \( n \).
\[ -2n+14=0 \]\[ -2n=-14 \]\[ n=7 \]