Zadanie #5

Zadanie z: 2007

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 5

Opis zadania

Jest to zadanie pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: ciąg arytmetyczny, suma początkowych wyrazów ciągu, wzór na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego.

Treść zadania

Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left( a_{n}\right) \), gdzie \( n\geq 1 \). Wiadmomo, że dla kadego \( n\geq 1 \) suma \( n \) początkowych wyrazów \( S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \) wyraża się wzorem: \( S_{n}=-n^{2}+13n \).

a) Wyznacz wzór na n–ty wyraz ciągu \( a_{n} \).

b) Oblicz \( a_{2007} \).

c) Wyznacz liczbę \( n \), dla której \( a_{n}=0 \).

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

a) wzór na sumę n-tych początkowych wyrazów ciągu, możemy napisać w następujący sposób: \[ S_{n}=a_{n}-S_{n-1} \] Wykorzystując tą zależność obliczamy \( a_{n} \)
b) korzystając z wyliczonego w punkcie wyżej wzoru obliczamy \( a_{n} \)
c) Skoro \( a_{n}=0 \) to przyrównujemy wzór wyliczony w punkcie a do zera i obliczamy \( n \).

Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Ciągi arytmetyczne

Rozwiązanie zadania

A

Wzór na sumę n-tych początkowych wyrazów ciągu, możemy napisać w następujący sposób:

\[ S_{n}=a_{n}+S_{n-1} \]

Wykorzystując tą zależność obliczamy \( a_{n} \):

\[ a_{n}=S_{n}-S_{n-1}= \]\[ =-n^{2}+13n-\left(-\left(n-1 \right)^{2} +13\left(n-1 \right)\right)= \]\[ =-n^{2}+13n+n^{2}-2n+1-13n+13= \]\[ =-2n+14 \]

B

Korzystając z wyliczonego w punkcie wyżej wzoru obliczamy \( a_{n} \)

\[ a_{2007}=-2\cdot 2007+14=-4000 \]

C

Skoro \( a_{n}=0 \) to przyrównujemy wzór wyliczony w punkcie \( a \) do zera i obliczamy \( n \).

\[ -2n+14=0 \]\[ -2n=-14 \]\[ n=7 \]