Ciągi arytmetyczne

Zadania – Ciągi arytmetyczne

Zadania maturalne – Ciągi arytmetyczne – ciąg liczbowy, w którym każdy wyraz jest sumą wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego oraz ustalonej liczby zwanej różnicą ciągu. Poznając własności ciagów arytmetycznych, bez problemu obliczymy dowolny z kolei wyraz ciągu czy sumę początkowych wyrazów ciągu oraz wyraz środkowy. Analizując matury z poprzednich lat, śmiało można powiedzieć, że prawie zawsze jest conajmniej jedno zadanie docztyące ciągu geometrycznego na maturze. Więcej na temat ciągów arytmetycznych znajduje się w przydatne wzory na stronie, gdzie przedstawione zostały wszystkie wzory dostępne w tablicach matematycznych ma maturze.


Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 128

zadanie otwarte

Liczby \( x \), \( y \), \( 19 \) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \( x + y = 8 \). Oblicz \( x \) i \( y \).

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 113

zadanie zamknięte

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \( \left (a_{n} \right) \) o wyrazach dodatnich. Wtedy

A) \( a_{4}+a_{7}=a_{10} \)
B) \( a_{4}+a_{6}=a_{3}+a_{8} \)
C) \( a_{2}+a_{9}=a_{3}+a_{8} \)
D) \( a_{5}+a_{7}=2a_{8} \)

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 85

zadanie zamknięte

W ciągu arytmetycznym \( \left(a_{n} \right) \) dane są: \( a_{3}=13 \) i \( a_{5}=39 \). Wtedy wyraz \( a_{1} \) jest równy

A) \(13 \)
B) \( 0 \)
C) \( -13 \)
D) \( -26 \)

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 69

Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left(a_{n} \right) \) dla \( n\geq 1 \), w którym \( a_{7}=1 \), \( a_{11}=9 \).
a) Oblicz pierwszy wyraz \( a_{1} \) i różnicę \( r \) ciągu \( \left(a_{n} \right) \).
b) Sprawdź, czy ciąg (\( a_{7} \), \( a_{8} \), \( a_{11} \)) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \( n \) , aby \( S_{n} \) początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \) miała wartość najmniejszą.

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 58

Nieskończony ciąg liczbowy \( a_{n} \) jest określony wzorem \( a_{n}=2-\frac{1}{n} \), dla \( n= 1,\; 2,\; 3, … \)
a) Oblicz, ile wyrazów ciągu \( a_{n} \) jest mniejszych od \( 1,975 \).
b) Dla pewnej liczby \( x \) trzywyrazowy ciąg \( a_{2} \), \( a_{7} \), \( x \) jest arytmetyczny. Oblicz \( x \).

Przygotowanie do matury: Zadanie maturalne nr 5

Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left( a_{n}\right) \), gdzie \( n\geq 1 \). Wiadmomo, że dla kadego \( n\geq 1 \) suma \( n \) początkowych wyrazów \( S_{n}=a_{1}+a_{2}+…+a_{n} \) wyraża się wzorem: \( S_{n}=-n^{2}+13n \).

a) Wyznacz wzór na n–ty wyraz ciągu \( a_{n} \).

b) Oblicz \( a_{2007} \).

c) Wyznacz liczbę \( n \), dla której \( a_{n}=0 \).