Rok: 2009
Matura: Egzamin próbny
Poziom matury: Podstawowy
Numer w arkuszu: 33
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: środek odcinka, równanie okręgu.
Treść zadania:
Punkty \( A=(2,0)\) i \( B=(12,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \( ABC\) o przeciwprostokątnej \( AB\). Wierzchołek \( C\) leży na prostej o równaniu \( y=x\). Oblicz współrzędne punktu \( C\).
Podpowiedź do zadania
Skoro trójkąt \( ABC\) ma być prostokątny, to punkt \( C\) musi leżeć na okręgu o średnicy \( AB\). Jego środek to środek odcinka \( AB\), który ma wzór:
\( S=(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2})\)
Następnie piszemy równanie okręgu o średnicy \( AB\) oraz podstawiamy do tego równania \( y=x\), by obliczyć jego punkty wspólne z tą prostą.
Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - planimetria.
Rozwiązanie zadania
Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.
Z obrazka widać, że będą dwa takie punkty \( C\).
Skoro trójkąt \( ABC\) ma być prostokątny, to punkt \( C\) musi leżeć na okręgu o średnicy \( AB\). Nie jest trudno napisać równania tego okręgu. Jego środek to środek odcinka \( AB\) czyli:
\( O=\left (\frac{2+12}{2},\frac{0+0}{2} \right )=(7,0) \)
a promień jest równy:
\( r=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(12-2)^{2}+0^{2}}}{2}=5 \)
Zatem okrąg o średnicy \( AB\) ma równanie:
\( (x-7)^{2}+y^{2}=25 \)
Pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostą \( y=x\). Podstawiamy więc \( y=x\) w powyższym równaniu.
\( (x-7)^{2}+x^{2}=25 \)
\( x^{2}-14x+49+x^{2}=25 \)
\( 2x^{2}-14x+24=0\,\,\,/\,:2 \)
\( x^{2}-7x+12=0 \)
\( \Delta=49-48=1 \)
\( x=\frac{7-1}{2}=3\,\,\,\vee \,\,\,x=\frac{7+1}{2}=4 \)
Zatem \( C=(3,3)\) lub \( C=(4,4)\).
Dodatkowa karta wzorów:
Odkryj naszą Kartę Dodatkowych Wzorów Maturalnych – kluczowe narzędzie dla każdego maturzysty.

Jeśli podoba Ci się to zadanie maturalne, udostępnij, je na Facebooku!
Oceń użyteczność zadania:
Chcielibyśmy wiedzieć, jak oceniasz to zadanie pod względem użyteczności w nauce i pomocy w zrozumieniu tematu. Prosimy, nie oceniaj trudności samego zadania, ale skup się na tym, jak pomogło Ci ono w nauce.
Ostatnio dodane na stronie
Wierzymy, że najlepszym sposobem nauki jest praktyka. Dlatego stale aktualizujemy naszą bazę zadań, abyś miał dostęp do najnowszych i najbardziej aktualnych treści. Oto kilka z naszych najnowszych zadań maturalnych, które pomogą Ci być o krok przed innymi.