Zadanie #8

Rok: 2009

Matura: Egzamin próbny

Poziom matury: Podstawowy

Numer w arkuszu: 33

Punkty: 4

Arkusz maturalny matematyka Cały arkusz

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: środek odcinka, równanie okręgu.

Treść zadania:

Punkty \( A=(2,0)\) i \( B=(12,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \( ABC\) o przeciwprostokątnej \( AB\). Wierzchołek \( C\) leży na prostej o równaniu \( y=x\). Oblicz współrzędne punktu \( C\).

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Skoro trójkąt \( ABC\) ma być prostokątny, to punkt \( C\) musi leżeć na okręgu o średnicy \( AB\). Jego środek to środek odcinka \( AB\), który ma wzór:

\( S=(\frac{x_{A}+x_{B}}{2};\frac{y_{A}+y_{B}}{2})\)

Następnie piszemy równanie okręgu o średnicy \( AB\) oraz podstawiamy do tego równania \( y=x\), by obliczyć jego punkty wspólne z tą prostą.

Więcej wzorów znajdziesz na stronie Wzory maturalne - planimetria.

Rozwiązanie zadania

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

wierzchołki trójkąta prostokątnego

wierzchołki trójkąta prostokątnego

Z obrazka widać, że będą dwa takie punkty \( C\).

Skoro trójkąt \( ABC\) ma być prostokątny, to punkt \( C\) musi leżeć na okręgu o średnicy \( AB\). Nie jest trudno napisać równania tego okręgu. Jego środek to środek odcinka \( AB\) czyli:

\( O=\left (\frac{2+12}{2},\frac{0+0}{2} \right )=(7,0) \)

a promień jest równy:

\( r=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{(12-2)^{2}+0^{2}}}{2}=5 \)

Zatem okrąg o średnicy \( AB\) ma równanie:

\( (x-7)^{2}+y^{2}=25 \)

Pozostało wyznaczyć jego punkty wspólne z prostą \( y=x\). Podstawiamy więc \( y=x\) w powyższym równaniu.

\( (x-7)^{2}+x^{2}=25 \)

\( x^{2}-14x+49+x^{2}=25 \)

\( 2x^{2}-14x+24=0\,\,\,/\,:2 \)

\( x^{2}-7x+12=0 \)

\( \Delta=49-48=1 \)

\( x=\frac{7-1}{2}=3\,\,\,\vee \,\,\,x=\frac{7+1}{2}=4 \)

Zatem \( C=(3,3)\) lub \( C=(4,4)\).

Odpowiedź: \( C=(3,3)\) lub \( C=(4,4)\)

kursy-maturalne-matematyka

Oceń użyteczność zadania:

Chcielibyśmy wiedzieć, jak oceniasz to zadanie pod względem użyteczności w nauce i pomocy w zrozumieniu tematu. Prosimy, nie oceniaj trudności samego zadania, ale skup się na tym, jak pomogło Ci ono w nauce.

0 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 50 votes, average: 0,00 out of 5

Liczba ocen: 0, średnia ocena: 0,00
Aby móc wystawić ocenę musisz być zalogowany.

Loading...

Ostatnio dodane na stronie

Wierzymy, że najlepszym sposobem nauki jest praktyka. Dlatego stale aktualizujemy naszą bazę zadań, abyś miał dostęp do najnowszych i najbardziej aktualnych treści. Oto kilka z naszych najnowszych zadań maturalnych, które pomogą Ci być o krok przed innymi.

Zadanie #1566
Zadanie #1566
2019
Zadanie #1565
Zadanie #1565
2019
Zadanie #1440
Zadanie #1440
2019
Zadanie #1302
Zadanie #1302
2019
Zadanie #1197
Zadanie #1197
2020
Zadanie #1196
Zadanie #1196
2020