Planimetria

Trójkąt równoboczny \( ABC \) ma pole równe \( 9\sqrt{3} \). Prosta równoległa do boku \( BC \) przecina boki \( AB \) i \( AC \) - odpowiednio - w punktach \( K \) i \( L \). Trójkąty \( ABC \) i \( AKL \) są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy \( \frac{3}{2}\). Oblicz długość boku trójkąta \( AKL \).

Dany jest trójkąt \( ABC \), w którym \( |BC|=6 \). Miara kąta \( ACB \) jest równa \(150^{\circ} \) (zobacz rysunek). Wysokość trójkąta \( A B C \) opuszczona z wierzchołka \( B \) jest równa:

Przez punkty \( A \) i \( B \), leżące na okręgu o środku \( O \), poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie \( C \) (zobacz rysunek). Miara kąta \( A C B \) jest równa:

W rombie o boku długości \( 6\sqrt{2} \) kąt rozwarty ma miarę \( 150^{\circ} \). Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy:

Punkty \( A, B, C \) leżą na okręgu o środku w punkcie \( O \). Kąt \( A C O \) ma miarę \(70^{\circ} \) (zobacz rysunek). Miara kąta ostrego \( A B C \) jest równa:

Punkty \( A=(2,0)\) i \( B=(12,0)\) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \( ABC\) o przeciwprostokątnej \( AB\). Wierzchołek \( C\) leży na prostej o równaniu \( y=x\). Oblicz współrzędne punktu \( C\).

Trójkąty \( ABC\) i \( CDE\) są równoboczne. Punkty \( A,C\) i \( E\) leżą na jednej prostej. Punkty \( K,L\) i \( M\) są środkami odcinków \( AC,CE\) i \( BD\) (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty \( K,L\) i \( M\) są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Trójkąt \( ABC \) jest podobny do trójkąta \( A'B'C' \) w skali \( \frac{5}{2}, \) przy czym \( |AB|=\frac{5}{2}|A'B'| \). Stosunek pola trójkąta \( ABC \) do pola trójkąta \( A'B'C' \) jest równy: