Planimetria

Wierzchołki \( A\) i \( C\) trójkąta \( ABC\) leżą na okręgu o promieniu \( r\), a środek \( S\) tego okręgu leży na boku \( AB\) trójkąta (zobacz rysunek). Prosta \( BC\) jest styczna do tego okręgu w punkcie \( C\), a ponadto \( \left | AC \right |=r \sqrt{3}\). Wykaż, że kąt \( ACB\) ma miarę \( 120 ^{\circ}\).

Dany jest trójkąt prostokątny \( ABC\), w którym \( \left | \measuredangle ACB \right |=90\) i \( \left | \measuredangle ABC \right |=60^{\circ}\). Niech \( D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \( C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \( AB\) tego trójkąta. Wykaż, że \( \left | AD \right |:\left | DB \right |=3:1\).

W trójkącie \( ABC\) poprowadzono dwusieczne kątów \( A\) i \( B\). Dwusieczne te przecinają się w punkcie \( P\). Uzasadnij, że kąt \( APB\) jest rozwarty.

Trójkąt \( ABC \) przedstawiony na poniższym rysunku jest równoboczny, a punkty \( B,C,N \) są współliniowe. Na boku \( AC \) wybrano punkt \( M \) tak, że \( |AM|=|CN| \). Wykaż, że \( |BM|=|MN|\).

Podstawy trapezu prostokątnego mają długości \( 6 \) i \( 10 \) oraz tangens kąta ostrego równy \( 3\). Oblicz pole tego trapezu.

Trójkąt \( ABC \) jest równoboczny. Punkt \( E \) leży na wysokości \( CD \) tego trójkąta oraz \( |CE|=\frac{3}{4}|CD| \). Punkt \( F \) leży na boku \( BC \) i odcinek \( EF \) jest prostopadły do \( BC \) (zobacz rysunek).

Wykaż, że \( |CF|=\frac{9}{16}|CB| \).

Dany jest trójkąt równoramienny \( ABC \), w którym podstawa \( AB \) ma długość \( 12 \), a każde z ramion ma długość równą \( 10 \). Punkt \( D \) jest środkiem ramienia \( BC \) (zobacz rysunek).

Oblicz sinus kąta \( \alpha \), jaki środkowa \( AD \) tworzy z ramieniem \( AC \) trójkąta \( ABC \).

Dany jest prostokąt \( ABCD \). Okręgi o średnicach \( AB \) i \( AD \) przecinają sie w punktach \( A \) i \( P \).

Wykaż, że punkty \( B, P \) i \( D \) leżą na jednej prostej.