Planimetria

Dany jest prostokąt \(A B C D\). Na boku \(C D\) tego prostokąta wybrano taki punkt \(E\), że \(|E C|= 2|D E|\), a na boku \(|A B|\) wybrano taki punkt \(F\), że \(|B F|=|D E|\). Niech \(P\) oznacza punkt przecięcia prostej \(E F\) z prostą \(B C\) (zobacz rysunek). Wykaż, że trójkąty \(A E D\) i \(F P B\) są przystające.

Miary kątów pewnego czworokąta pozostają w stosunku \( 2:3:3:4\). Wynika stąd, że najmniejszy kąt tego czworokąta ma miarę:

Odcinek \( AB\) jest średnicą okręgu o środku \( O\) i promieniu \( r\). Na tym okręgu wybrano punkt \( C\), taki, że \( \left| OB \right|=\left| BC \right|\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \( AOC\) jest równe:

Długości boków trapezu równoramiennego są równe \( 12,13,2,13 \). Wysokość \( h\) tego trapezu jest równa:

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\), w którym \(|\measuredangle A C B|=90 \) i \(|\measuredangle A B C|=60^{\circ}\). Niech \(D\) oznacza punkt wspólny wysokości poprowadzonej z wierzchołka \(C\) kąta prostego i przeciwprostokątnej \(A B\) tego trójkąta. Wykaż, że \(|A D|:|D B|=3: 1\).

Kąt \(C A B\) trójkąta prostokątnego \(A C B\) ma miarę \(30^{\circ}\). Pole kwadratu \(D E F G\), wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek), jest równe \(4\). Oblicz pole trójkąta \(A C B\).

Środek \(S\) okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym \(A B C\), o ramionach \(A C\) i \(B C\), leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). Wykaż, że miara kąta wypukłego \(A S B\) jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego \(S B C\).

Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość \(26 \, cm\), a jedna z przyprostokątnych jest o \(14 \, cm\) dłuższa od drugiej. Oblicz obwód tego trójkąta.