Zadania otwarte

Kąt \( \alpha\) jest ostry oraz \( tg\alpha=\frac{4}{3}\). Oblicz \( sin\alpha+cos\alpha\).

Pole trójkąta prostokątnego jest równe \( 60\,cm^{2}\). Jedna przyprostokątna jest o \( 7\,cm\) dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.

Podstawą graniastosłupa prostego \( A B C D E F \) jest trójkąt równoramienny \(A B C \), w którym \( |A C|=|B C| \) ,\( |A B|=8 \) . Wysokość trójkąta \(A B C \), poprowadzona z wierzchołka \( C \), ma długość \( 3 \). Przekątna \( C E \) ściany bocznej tworzy z krawędzią \(C B \) podstawy \(A B C \) kąt \( 60^{\circ} \) (zobacz rysunek).

Oblicz pole powierzchni całkowitej oraz objętość tego graniastosłupa.

Ze zbioru ośmiu liczb { \( 2,3,4,5,6,7,8,9 \) } losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez \( 15 \).

W kwadracie \( A B C D \) punkty \( A=(-8,-2) \) oraz \(C=(0,4)\) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną \(BD\) tego kwadratu.

Trójkąty prostokątne \(T_{1} \) i \( T_{2} \) są podobne. Przyprostokątne trójkąta \( T_{1} \) mają długości \( 5 \) i \( 12 \). Przeciwprostokątna trójkąta \( T_{2} \) ma długość \( 26 \) . Oblicz pole trójkąta \( T_{2} \).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1 \) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y \) prawdziwa jest nierówność:

\(x^{2}+y^{2}+5>2 x+4 y. \)

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości \(8910 \)zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o \( 30 \)zł.