Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 6
Opis zadania
Jest to zadanie, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 6 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: pole czworokąta, trójkąt prostokątny, trójkąt równoramienny, twierdzenie Pitagorasa, funkcje trygonometryczne, cotangens kąta.
Treść zadania
Oblicz pole czworokąta wypukłego \( ABCD \), w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: ∡ \( A=90^{\circ} \), ∡ \( B=75^{\circ} \), ∡ \( C=60^{\circ} \), ∡ \( D=135^{\circ} \), a boki \( AB \) i \( AD \) mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.
Podpowiedź do zadania
Zaczynamy od dokładnego rysunku. Trójkąt \( ABD \) jest równoramienny i prostokątny, zatem oba kąty mają miarę po \( 45^{\circ} \), a ∡ \( BCD = 90^{\circ} \) i ∡ \( CBD = 30^{\circ} \). Obliczamy pole trójkąta prostokątnego równoramiennego, następnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy policzyć długość przeciwprostokątnej będącą jednocześnie wysokościa w trójkącie \( BCD \), mając wysokość, długość podstawy liczymy korzystajać z funkcji trygonometrycznych. Na koniec dodajemy pola obu trójkątów uzyskując pole naszego czworoboku.Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Planimetria oraz Tablice matematyczne - Trygonometria
Rozwiązanie zadania
Zaczynamy od sporządzenia dokładnego rysunku i naniesienia danych z treści zadania.
Trójkąt \( ABD \) jest równoramienny i prostokątny, zatem oba kąty maja miarę po \( 45^{\circ} \), a ∡ \( BDC=90^{\circ} \) i ∡ \( CBD=30^{\circ} \) mając te dane możemy policzyć pole tego trójkąta.
\[ P_{\bigtriangleup ABD}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 3=\frac{9}{2} \]
Następnie z Twierdzenia Pitagorasa możemy policzyć długość przeciwprostokątnej trójkąta równoramiennego będącą jednocześnie wysokością w trójkącie \( BDC \).
\[ BD=\sqrt{AB^{2}+AD^{2}}= \]\[ =\sqrt{9+9}=3\sqrt{2} \]
Wyznaczając \( ctg \) ∡ \( DCB \) możemy obliczyć długość \( CD \)
\[ ctg60^{\circ} = \frac{CD}{BD} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{CD}{3\sqrt{2}}\]
Wymnażając na krzyż otrzymujemy:
\[ 3CD = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}\; \; /: 3 \]\[ CD=\sqrt{2}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6} \]
Liczymy pole trójkąta \( BCD \)
\[ P_{\bigtriangleup BCD}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{6}\cdot 3\sqrt{3}=3\sqrt{3} \]
Pole naszego czworokątu wynosi:
\[ P_{ABCD}= P_{BCD} + P_{ABD} \]\[ P_{ABCD}= 3\sqrt{3} + \frac{9}{2} \]