Planimetria

Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i \( n\geq 3 \) wyraża się wzorem: \( P_{n}=\frac{n\left(n-3 \right)}{2} \).

a) Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.

b) Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.

c) Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.

d) Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.

Oblicz pole czworokąta wypukłego \( ABCD \), w którym kąty wewnętrzne mają odpowiednio miary: ∡ \( A=90^{\circ} \), ∡ \( B=75^{\circ} \), ∡ \( C=60^{\circ} \), ∡ \( D=135^{\circ} \), a boki \( AB \) i \( AD \) mają długość 3 cm. Sporządź rysunek pomocniczy.

Pole prostokąta \( ABCD\) jest równe \( 90\). Na bokach \( AB\) i \( CD\) wybrano - odpowiednio - punkty \( P\) i \( R,\) takie, że \( \frac{\left | AP \right |}{\left | PB \right |}=\frac{\left | CR \right |}{\left | RD \right |}=\frac{3}{2}\) (zobacz rysunek). Pole czworokąta \( APCR \) jest równe:

Punkty \( A,B,C,D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \( O.\) Kąt środkowy \( DOC\) ma miarę \( 118^{\circ}\) (zobacz rysunek). Miara kąta \( ABC \) jest równa?

Punkty \( A=(-4,4) \) i \( B=(4,0) \) są sąsiednimi wierzchołkami kwadratu \( ABCD. \) Przekątna tego kwadratu ma długość:

Boki równoległoboku mają długości \( 6\,i\,10, \) a kąt rozwarty między tymi bokami ma miarę \( 120^{\circ} \). Pole tego równoległoboku jest równe:

Wysokość trójkąta równobocznego jest równa \( 6\sqrt{3}. \) Pole tego trójkąta jest równe:

Punkty \( A,B,P \) leżą na okręgu o środku \( S \) i promieniu \( 6. \) Czworokąt \( ASBP \) jest rombem, w którym kąt ostry \( PAS \) ma miarę \( 60^{\circ} \) (zobacz rysunek). Pole zacieniowanej na rysunku figury jest równe: