Zadanie z: 2011
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 2
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: sprowadzanie do wspólnego mianownika, równania trygonometryczne oraz funkcja sinus i funkcja cosinus.
Treść zadania
Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \frac{sin\alpha}{cos \alpha} + \frac{cos \alpha}{sin \alpha}=2 \). Oblicz wartość wyrażenia \( sin \alpha cos\alpha \).
Podpowiedź do zadania
Przekształcamy równanie do postaci \( sin \alpha cos\alpha \) sprowadzając do wspólnego mianownika i dodając.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Trygonometria
Rozwiązanie zadania
Przekształcamy równanie do postaci \( sin \alpha cos\alpha \).
\[ \frac{sin\alpha}{cos \alpha} + \frac{cos \alpha}{sin \alpha}=2 \]
Sprowadzamy do wspólnego mianownika i dodajemy:
\[ \frac{sin\alpha}{cos \alpha} \cdot \frac{sin \alpha}{sin \alpha}+ \frac{cos \alpha}{sin \alpha} \cdot \frac{cos \alpha}{cos \alpha}=2 \]
\[ \frac{sin\alpha^{2}}{cos \alpha sin \alpha} + \frac{cos \alpha^{2}}{sin \alpha cos \alpha}=2 \]
Zapisujemy pod jedną kreską ułamkową:
\[ \frac{sin \alpha^{2}+cos \alpha^{2}}{sin \alpha cos \alpha}=2 \]
Zamieniamy licznik zgodnie z wzorem na jedynkę trygonometryczną:
\[ \frac{1}{sin \alpha cos \alpha}=2 \]
Odwracamy równanie (do góry nogami) lub inaczej potęgujemy obustronnie przez \( -1 \)
\[ \frac{1}{sin \alpha cos \alpha}=\frac{2}{1} \; /{\left ( \right )^{-1}} \]
\[ sin \alpha cos \alpha=\frac{1}{2} \]