Zadanie #128

Zadanie z: 2011

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Rodzaj zadania: Otwarte

Punkty: 2

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: ciąg arytmetyczny, wzór na środkowy wyraz ciągu arytmetycznego oraz układy równań.

Treść zadania

Liczby \( x \), \( y \), \( 19 \) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \( x + y = 8 \). Oblicz \( x \) i \( y \).

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Wykorzystujemy wzór na środkowy wyraz ciągu arytmetycznego i tworzymy układ równań z równaniem z treści zadania.

\[ a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \]

Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Ciągi arytmetyczne

Rozwiązanie zadania

Korzystamy z wzoru na środkowy wyraz ciągu arytmetycznego.

\[ a_{n}=\frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2} \]
\[ y=\frac{x+19}{2} \; / \cdot 2 \]
\[ 2y=x+19 \]

Tworzymy układ równań, z równaniem z treści zadania.

\[ \left\{\begin{matrix} 2y=x+19 \\ x + y = 8 \end{matrix}\right. \]

Dodajemy równania stronami:

\[ 2y+x+y=x+19+8 \]
\[ 3y+x=x+27 \]
\[ 3y=27 \; / :3\]
\[ y=9 \]
\[ x+y=8 \]
\[ x+9=8\Rightarrow x=-1 \]