Ciągi geometryczne

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \( (a_{n}) \) określonego dla \( n\geqslant 1\) są dodatnie i \( 3a_{2}=2a_{3}.\) Stąd wynika, że iloraz \( q\) tego ciągu jest równy:

W ciągu geometrycznym przez \( S_{n} \) oznaczamy sumę \(n\) początkowych wyrazów tego ciągu, dla liczb naturalnych \( n\ge 1 \). Wiadomo, że dla pewnego ciągu geometrycznego: \( S_{1}=2 \) i \( S_{2}=12 \). Wyznacz iloraz i piąty wyraz tego ciągu.

Ciąg geometryczny \(\left(a_{n}\right) \) jest określony dla każdej liczby naturalnej \( n \geqslant 1 \). W tym ciągu \(a_{1}=3,75\) oraz \(a_{2}=-7,5\). Suma trzech początkowych wyrazów ciagu \( \left(a_{n}\right) \) jest równa:

Masa \( m \) leku \( L \) zażytego przez chorego zmienia się w organizmie zgodnie z zależnością wykładniczą:

\( m(t)=m_{0} \cdot(0,6)^{0,25 t} \)

gdzie:

• \( m_{0} \) - masa (wyrażona w mg) przyjętej w chwili \( t=0 \) dawki leku,
• \( t \) - czas (wyrażony w godzinach) liczony od momentu \( t=0\) zażycia leku.

Liczby \( m(2,5) \), \( m(4,5) \), \( m(6,5) \) w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Liczby \( 64,x,4 \) są odpowiednio pierwszym, drugim i trzecim wyrazem malejącego ciągu geometrycznego. Oblicz piąty wyraz tego ciągu.

Wszystkie wyrazy ciągu geometrycznego \( a_{n}\), określonego dla \( n\geqslant 1 \), są dodatnie. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek \( 6a_{1}-5a_{2}+a_{3}=0 \). Oblicz iloraz \( q \) tego ciągu należący do przedziału \( \left \langle 2\sqrt{2},3\sqrt{2} \right \rangle \).

Dany jest trzywyrazowy ciąg \( \left ( x+2,4x+2, x+11 \right ) \). Oblicz wszystkie wartości \( x \), dla których ten ciąg jest geometryczny.

Ciąg \( (1,x,y-1) \) jest arytmetyczny, natomiast ciąg \( (x,y,12) \) jest geometryczny. Oblicz \( x \) oraz \( y \) i podaj ten ciąg geometryczny.