Zadanie z: 2009
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: funkcja kwadratowa, wykres funkcji kwadratowej, nierówności kwadratowe, przesunięcie wykresu funkcji.
Treść zadania
Wykres funkcji \( f \) danej wzorem \( f\left(x \right)=-2x^{2} \) przesunięto wzdłuż osi Ox o \( 3 \) jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o \( 8 \) jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji \( g \).
a) Rozwiąż nierówność \( f\left(x \right)+5<3x \).
b) Podaj zbiór wartości funkcji \( g \).
c) Funkcja g określona jest wzorem \( g\left(x \right)=-2x^{2}+bx+c \). Oblicz \( b \) i \( c \).
Podpowiedź do zadania
a) Powstaje równanie kwadratowe, które liczy deltą: \( -2x^{2}+5x<3x \)b) Rysujemy wykres funkcji \( f\left(x \right)=-2x^{2} \) i przesuwamy zgodnie z instrukcją w treści zadania otrzymując wykres funkcji \( g\left(x \right) \), zbiór wartości odczytujemy z wykresu.
c) Przesuwając fukcję \( f\left(x \right) \) o \( 3 \) w prawo i o \(8 \) do góry otrzymujemy funkcję \( f\left(x-3 \right)+8 \) rozwiązujac ją otrzymujemy wartosci \( b \) i \( c \).
Zobacz więcej tutaj: Tablice maturalne - Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie zadania
Powstaje równanie kwadratowe, które liczy deltą:
\[ -2x^{2}+5<3x \]\[ 0<2x^{2}+3x-5 \]\[ \Delta =b^{2}-4a \]\[ \Delta =3^{2}-4\cdot 2\cdot \left(-5 \right) \]\[ \Delta =9+40=49 \]\[ \sqrt{\Delta }=7 \]\[ x_{1}=\frac{-3+7}{4}=1 \]\[ x_{2}=\frac{-3-7}{4}=-2,5 \]\[ x\in \left(- \infty, -\frac{5}{2} \right)\cup \left(1,\infty \right) \]
Rysujemy wykres funkcji \( f\left(x \right)=-2x^{2} \) i przesuwamy zgodnie z instrukcją w treści zadania otrzymując wykres funkcji \( g\left(x \right) \), zbiór wartości odczytujemy z wykresu.
Z wykresu widać, że zbiór wartości jest przedziałem \( (-\infty, 8 > \).
Przesuwając funkcję \( f\left(x \right) \) o \( 3 \) w prawo i o \( 8 \) do góry otrzymujemy funkcję \( f\left(x-3\right)+8 \) rozwiązując ją otrzymujemy wartości \( b \) i \( c \).
\[ g\left(x \right)=f\left(x-3 \right)+8 \]\[ f\left(x-3 \right)=-2\left( x-3\right)^{2}= \]\[ =-2x^{2}+12x-18 \]\[ g\left(x \right)=-2x^{2}+12x-18+8 \]\[ g\left(x \right)=-2x^{2}+12x-10 \]
Takiej postaci równania widać, że \( b =12 \) i \( c = -10 \).