Zadanie z: 2010
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 2
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2010 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: obwód trapezu, trapez prostokątny, wysokość trójkąta równobocznego, przekątna trapezu, trójkąt prostokątny i twierdzenie Pitagorasa.
Treść zadania
W trapezie prostokątnym krótsza przekątna dzieli go na trójkąt prostokątny i trójkąt równoboczny. Dłuższa podstawa trapezu jest równa \( 6 \). Oblicz obwód tego trapezu.
Podpowiedź do zadania
Wysokość trapezu to równocześnie wysokość trójkąta równobocznego o boku \( 6 \), a krótsza podstawa trapezu to połowa podstawy trójkąta równobocznego, o takim samym boku.Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Planimetria
Rozwiązanie zadania
Rysunek pomocniczy
Wysokość trapezu równa (odcinek \( BC \)) jest równa wysokości trójkąta równobocznego \( ABD \) o boku \( 6 \).
\[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \]\[ h=BC=\frac{6\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3} \]
Długość krótszej podstawy trapezu \( CD \) można wyliczyć z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie \( BCD \) lub wystarczy zauważyć, że jest to połowa długości podstawy trójkąta równobocznego \( ABD \).
\[ CD=\frac{1}{2}\cdot AB=\frac{1}{2}\cdot 6=3 \]
Obwód trapezu jest równy
\[ Ob=AB+BC+CD+DA \]\[ Ob=6+3\sqrt{3}+3+6= \]\[ =15+3\sqrt{3} \]