Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Zadanie pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: Twierdzenie Pitagorasa, wyznaczanie funkcj trygonometrycznych tj.: sinus, cosinus, tangens, cotangens, jak również podstawowe działania na ułamkach zwykłych: dodawanie i odejmowanie, sprowadzanie do wspólnego mianownika oraz działania na: potęgach i pierwiastkach.
Treść zadania
Korzystając z danych przedstawionych na rysunku, oblicz wartość wyrażenia: \( tg ^{2} \beta – 5sin \beta \, ctg \alpha + \sqrt{1-cos^{2} \alpha} \)
Podpowiedź do zadania
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej: \[ a^{2}+b^{2}=c^{2} \] Następnie mając długości wszystkich boków wyznaczamy wartość poszczególnych funkcji trygonometrycznych i podstawiamy do równania.Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne – Trygonometria, Tablice matematyczne – Planimetria
Rozwiązanie zadania
Korzystając z Twierdzenia Pitagorasa obliczamy długość przeciwprostokątnej:
\[ AB=\sqrt{8^{2}+6^{2}}=\sqrt{100}=10 \]
Następnie mając długości wszystkich boków wyznaczamy wartość poszczególnych funkcji trygonometrycznych:
\[ tg \beta =\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \]\[ sin \beta =\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \]\[ ctg \alpha =\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3} \]\[ cos \alpha =\frac{AC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} \]
Mając już wszystkie dane podstawiamy do naszego równania:
\[ \left(\frac{4}{3} \right)^{2}-5\cdot \frac{4}{5} \cdot\frac{4}{3}+\sqrt{1-\left(\frac{4}{5} \right)^{2}}= \]\[ =\frac{16}{9} - \frac{16}{3}+\sqrt{1-\frac{16}{25}}= \]\[ =\frac{16}{9} - \frac{16}{3}+\frac{3}{5}=\frac{80-240+27}{45}= \]\[ =\frac{-133}{45} \]