Zadanie #67

Zadanie z: 2009

Matura: G艂贸wna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 5

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, kt贸re pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za kt贸re mo偶na by艂o uzyska膰 5 punkt贸w. W zadaniu poruszane s膮 takie zagadnienia jak: r贸wno艣膰 wielomian贸w, rozwi膮zywanie r贸wna艅, wyci膮ganie przed nawias i r贸wnania kwadratowe.

Tre艣膰 zadania

Wielomian \( W \) dany jest wzorem \( W\left(x \right)=x^{3}+ax^{2}-4x+b \).
a) Wyznacz \( a \), \( b \) oraz \( c \) tak, aby wielomian W by艂 r贸wny wielomianowi \( P \), gdy \( P\left(x \right)=x^{3}+\left(2a+3\right)x^{2}+\left(a+b+c\right)x+1 \).
b) Dla \( a=3 \) i \( b=0 \) zapisz wielomian \( W \) w postaci iloczynu trzech wielomian贸w stopnia pierwszego.

Wskaz贸wka do zadania

Podpowied藕 do zadania

a) Wielomiany s膮 sobie r贸wne gdy maj膮 identyczne wyznaczniki.

b) Po podstawieniu wyci膮gamy \( x \) przed nawias i rozwi膮zujemy r贸wnanie kwadratowe.

Zobacz wi臋cej tutaj: Wzory maturalne - Funkcja kwadratowa

Rozwi膮zanie zadania

A

a) Dwa wielomiany s膮 sobie r贸wne gdy maj膮 identyczne wsp贸艂czynniki, zatem:

\[ a=2a+3 \]\[ -4=a+b+c \]\[ b=-1 \]

Z pierwszego r贸wnania mo偶emy obliczy膰 \( a \):

\[ -3=2a-a \]\[ a=-3 \]

Z trzeciego r贸wnania mamy wyznaczone b, podstawiaj膮c \( a \) i \( b \) do drugiego r贸wnania wyliczamy \( c \):

\[ -4=-3-1+c \]\[ c=0 \]

B

b) Po podstawieniu wielomianu otrzymujemy:

\[ W\left(x \right)=x^{3}+3x^{2}-4x \]

Wyci膮gamy \( x \) przed nawias:

\[ W\left(x \right)=x\left(x^{2}+3x-4 \right) \]

Wyra偶enie w nawiasie obliczamy korzystaj膮c z wzoru na \( \Delta \):

\[ \Delta =3^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-4 \right) \]\[ \Delta =25 \]\[ x_{1}=\frac{-3-5}{2}=-4 \]\[ x_{2}=\frac{-3+5}{2}=1 \]

Nasz wielomian przedstawia si臋 nast臋puj膮co:

\[ W\left(x \right)=x\left(x+4 \right)\left(x-1 \right) \]