Zadanie z: 2009
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: równość wielomianów, rozwiązywanie równań, wyciąganie przed nawias i równania kwadratowe.
Treść zadania
Wielomian \( W \) dany jest wzorem \( W\left(x \right)=x^{3}+ax^{2}-4x+b \).
a) Wyznacz \( a \), \( b \) oraz \( c \) tak, aby wielomian W był równy wielomianowi \( P \), gdy \( P\left(x \right)=x^{3}+\left(2a+3\right)x^{2}+\left(a+b+c\right)x+1 \).
b) Dla \( a=3 \) i \( b=0 \) zapisz wielomian \( W \) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Podpowiedź do zadania
a) Wielomiany są sobie równe gdy mają identyczne wyznaczniki.b) Po podstawieniu wyciągamy \( x \) przed nawias i rozwiązujemy równanie kwadratowe.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie zadania
a) Dwa wielomiany są sobie równe gdy mają identyczne współczynniki, zatem:
\[ a=2a+3 \]\[ -4=a+b+c \]\[ b=-1 \]
Z pierwszego równania możemy obliczyć \( a \):
\[ -3=2a-a \]\[ a=-3 \]
Z trzeciego równania mamy wyznaczone b, podstawiając \( a \) i \( b \) do drugiego równania wyliczamy \( c \):
\[ -4=-3-1+c \]\[ c=0 \]
b) Po podstawieniu wielomianu otrzymujemy:
\[ W\left(x \right)=x^{3}+3x^{2}-4x \]
Wyciągamy \( x \) przed nawias:
\[ W\left(x \right)=x\left(x^{2}+3x-4 \right) \]
Wyrażenie w nawiasie obliczamy korzystając z wzoru na \( \Delta \):
\[ \Delta =3^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-4 \right) \]\[ \Delta =25 \]\[ x_{1}=\frac{-3-5}{2}=-4 \]\[ x_{2}=\frac{-3+5}{2}=1 \]
Nasz wielomian przedstawia się następująco:
\[ W\left(x \right)=x\left(x+4 \right)\left(x-1 \right) \]