Zadanie z: 2011
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 2
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 2 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: kwadrat sumy, rozwiązywanie równań oraz wzory skróconego mnożenia.
Treść zadania
Uzasadnij, że jeżeli \( a+b=1 \) i \( a^{2}+b^{2}=7 \), to \( a^{4}+b^{4}=31 \).
Podpowiedź do zadania
Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy do obliczenia \( ab \).
Następnie podnosimy równość \( a^{2} + b^{2} = 7 \) stronami do kwadratu.
Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Wzory skróconego mnożenia
Rozwiązanie zadania
Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy do obliczenia \( ab \). Wiemy, że \( 1=1^{2} \), więc \( a+b=\left ( a+b \right )^{2} \), liczymy zatem:
\[ 1=\left ( a+b \right )^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} \]
\[ 1=7+2ab \]
\[ 2ab=-6\Rightarrow ab=-3 \]
Następnie podnosimy równość \( a^{2} + b^{2} = 7 \) stronami do kwadratu.
\[ 7^{2}=\left ( a^{2}+b^{2} \right )^{2} \]
\[ 49=\left ( a^{2} \right )^{2}+2 a^{2}b^{2}+ \left( b^{2} \right )^{2} \]
\[ 49=a^{4} +2a^{2}b^{2}+b^{4} \]
\[ a^{4}+b^{4}=49 - 2\left ( ab \right )^{2} \]
\[ a^{4}+b^{4}=49 - 2 \cdot \left ( -3 \right )^{2} \]
\[ a^{4}+b^{4}=49 - 18=31 \]