Zadanie z: 2009
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 6 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: średnia ważona, kombinacje oraz obliczenia prawdopodobieństwa.
Treść zadania
Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał
wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.
| Liczba błędów | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Liczba zdających | 8 | 5 | 8 | 5 | 2 | 1 | 0 | 0 | 1 |
a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.
Podpowiedź do zadania
a) Obliczamy sumę zdających a następnie średniąb) Z kombinacji obliczamy na ile sposobów możemy wybrać zdających, a para osób zdających to iloczyn osób, które zdały i nie zdały.
Zobacz więcej tutaj: Rachunek prawdopodobieństwa oraz Kombinatoryka
Rozwiązanie zadania
Obliczamy ile osób zdawało egzamin
\[ 8+6+8+8+2+1+1=30 \]
Liczymy ile wynosi średnia
\[ \frac{8*0+5*1+8*2+5*3*2*4+1*5+1*8}{30}= \]\[ =\frac{5+16+15+8+5+8}{30}=\frac{57}{30}\approx 1,9=2 \]
Obliczamy na ile sposobów możemy wybrać dwóch zdających
\[ \left|\Omega \right|=\begin{pmatrix} 30 \\ 2 \end{pmatrix} =\frac{30*29}{2}=15*29 \]
Osób, które zdały jest:
\[ 8+5+8=21 \]
Parę osób, z których jedna zdała a druga nie możemy wybrać na:
\[ 21*9 \]
sposobów. Teraz pozostaje nic innego jak obliczyć prawdopodobieństwo
\[ \frac{21*9}{15*29}=\frac{7*9}{5*29}=\frac{63}{145} \]