Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: liczba przekątnych wielokąta, dwudziestokąt wypukły, wymnażanie przez nawias, wyciąganie przed nawias, równanie kwadratowe.
Treść zadania
Liczba przekątnych wielokąta wypukłego, w którym jest n boków i \( n\geq 3 \) wyraża się wzorem \( P_{n}=\frac{n\left(n-3 \right)}{2} \)
a) Oblicz liczbę przekątnych w dwudziestokącie wypukłym.
b) Oblicz, ile boków ma wielokąt wypukły, w którym liczba przekątnych jest pięć razy większa od liczby boków.
c) Sprawdź, czy jest prawdziwe następujące stwierdzenie: Każdy wielokąt wypukły o parzystej liczbie boków ma parzystą liczbę przekątnych. Odpowiedź uzasadnij.
d) Uzasadnij, że jeżeli liczba boków wielokąta wypukłego jest nieparzysta, to liczba jego przekątnych jest wielokrotnością liczby jego boków.
Podpowiedź do zadania
a) Korzystamy z wzoru na liczbę przekątnych podaną w treści zadania: \[ P_{n}=\frac{n\left(n-3 \right)}{2} \] b) Rozwiązujemy równanie: \[ \frac{n\left(n-3 \right)}{2}=5n \] c) Liczymy liczbę przekątnych dla kilku pierwszych wielokątów, aby sprawdzić prawidłowośćd) Przekształcamy wzór na liczbę przekątnych
Zobacz więcej tutaj: Tablice maturalne - Planimetria
Rozwiązanie zadania
Podstawiamy \( n=20 \) do wzoru na liczbę przekątnych:
\[ P_{20}=\frac{20\cdot 17}{2}=170 \]
Rozwiązujemy równanie
\[ \frac{n\left(n-3 \right)}{2}=5n \]
Najpierw wymnażamy obustronnie przez 2 aby pozbyć się ułamka, jednocześnie wymnażając przez nawias
\[ \frac{n\left(n-3 \right)}{2}=5n\; /\cdot 2 \]\[ n^{2}-3n=10n \]\[ n^{2}-13n=0 \]
Otrzymaliśmy równanie kwadratowe, które można wyliczyć deltą, jednak z racji, że współczynnik kierunkowy \( b=0 \) szybciej będzie zastosować wyciąganie przed nawias
\[ n\left(n-13 \right)=0 \]\[ n=0\; oraz \; n=13 \]
Liczba przekątnych powinna być równa co najmniej 1 dlatego odrzucamy pierwsze rozwiązanie
Liczymy liczbę boków w kolejnych wielokątach o parzystej liczbie boków:
\[ P_{4}=\frac{4\left(4-3 \right)}{2}=\frac{4}{2}=2 \]\[ P_{6}=\frac{6\left(6-3 \right)}{2}=\frac{18}{2}=9 \]
Dziewięć nie jest liczbą parzystą więc stwierdzenie jest nie prawdziwe.
Jeżeli \( n \) jest liczbą nieparzystą, to liczba \( \frac{n-3}{2} \) jest liczbą całkowitą i liczba przekątnych wynosi
\[ n \cdot \frac{n-3}{2} \]
Jasno wynika, że jest wielokrotnością \( n \)