Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: postać kanoniczna funkcji kwadratowej, wzór skróconego mnożenia (kwadrat różnicy), czy wykres funkcji kwadratowej.
Treść zadania
Znajdź wzór funkcji kwadratowej \( y=f\left(x \right) \), której wykresem jest parabola o wierzchołku \( \left(1, -9 \right) \) przechodząca przez punkt o współrzędnych \( \left(2, -8 \right) \). Otrzymaną funkcję przedstaw w postaci kanonicznej. Oblicz jej miejsca zerowe i naszkicuj wykres.
Podpowiedź do zadania
Wykorzystujemy wzór na postać kanoniczną funkcji kwadratowej: \[ f\left(x \right)=a\left(x-p \right)^{2}+q \] Następnie wykorzystujemy współrzędne wierzchołka paraboli, aby obliczyć współczynnik kierunkowy. Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie zadania
Ponieważ mamy do czynienia z funkcją kwadratową wykorzystujemy wzór na postać kanoniczną:
\[ f\left(x \right)=a\left(x-p \right)^{2}+q \]
\( p \) i \( q \) są współrzędnymi wierzchołka paraboli, dlatego, współrzędne wierzchołka to \( \left( p=1,\; q= -9 \right) \), czyli nasza postać kanoniczna przybiera następującą postać:
\[ y=a\left(x-1 \right)^{2}-9 \]
Znamy również punk przez który przechodzi wykres funkcji, ma on współrzędne \( \left( x=2,\; y=-8 \right) \), po ich podstawieniu do naszego równania otrzymujemy:
\[ -8=a\left(2-1 \right)^{2}-9 \]
Dodajemy obustronnie +9
\[ -8=a-9\; /+9 \]\[ a=1 \]
Z powyższego równania obliczamy współczynnik \( a \), który w naszym wypadku wynosi: \( 1 \) zatem postać kanoniczna funkcji przedstawia się następująco:
\[ f\left(x \right)=\left(x-1 \right)^{2}-9 \]
Aby wyznaczyć miejsce zerowe funkcji korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów:
\[ a^{2}-b^{2}=\left(a-b \right)\left(a+b \right) \]
Aby móc skorzystać z wybranego wzory musimy liczbę \( 9 \) zamienić na \(3^{2} \):
\[ \left(x-1 \right)^{2}-9=\left(x-1 \right)^{2}-3^{2} \]\[ \left(x-1+3 \right)\left(x-1-3 \right)=\left(x+2 \right)\left(x-4 \right) \]
Dwie liczby pomnożone przez siebie dadzą \( 0 \) tylko wówczas gdy jedna z nich będzie wynosiła \( 0 \). Dlatego oba nawiasy przyrównujemy do \( 0 \) i otrzymujemy: \( x_{1}=-2 \), \( x_{2}=4 \).
Wiemy, że współczynnik \( a \) jest dodatni \( \left( a=1 \right) \), więc ramiona paraboli skierowane są ku górze. Oprócz tego znając współrzędne wierzchołka paraboli \( \left(1, -9 \right) \) oraz miejsca zerowe \( -2 \) i \( 4 \) możemy bez problemu narysować wykres funkcji.
