Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: ciąg geometryczny, środkowy wyraz ciagu geometrycznego, układ równań, funkcja kwadratowa.
Treść zadania
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \( a_{n} \) dla \( n>1 \), w którym \( a_{1}=x \), \( a_{2}=14 \), \( a_{3}=y \). Oblicz \( x \) oraz \( y \), jeżeli wiadomo, że \( x + y = 35 \).
Podpowiedź do zadania
Wiedząc, że \( x + y = 35 \) układamy układ równań, jako drugie równanie wykorzystujemy własność na środkowy wyraz ciągu geometrycznego, czyli \( xy = 196 \). Rozwiązując układ równań otrzymujemy funkcję kwadratową i dwa rozwiązania, w naszym przypadku wybieramy rozwiązanie, gdzie ciąg jest rosnący.Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Ciąg geometryczny oraz Tablice matematyczne - Funkcja kwadratowa
Rozwiązanie zadania
Wiemy, z własności ciągu geometrycznego, że iloczyn wyrazu poprzedniego i następnego równa się kwadratowi wyrazu środkowego. Wykorzystując tą własność otrzymujemy układ równań.
\[ \begin{cases} x+y=35 \\ x\cdot y=196 \end{cases} \]
Wyznaczamy \( y \) z pierwszego równania i po podstawieniu do drugiego otrzymujemy:
\[ \begin{cases} y=35 - x \\ x\cdot \left( 35 - x\right)=196 \end{cases} \]
\[ -x^{2}+35x-196=0 \]\[ x^{2}-35x+196=0 \]
Rozwiązaniem tego równania są: \( x_{1}=7 \) oraz \( x_{2}=28 \), co daje \( y_{1}=28 \) i \( y_{2}=7 \). Tylko jedno rozwiązanie daje ciąg rosnący, wygląda on następująco \( 7, 14, 28 \)