Rok: Wrzesień 2020
Matura: Poprawkowa
Poziom matury: Podstawowy
Zadań w arkuszu: 34
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 1
zadanie zamknięte
Liczba \( (\sqrt{5}+2\sqrt{3})^{2}\) jest równa:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 2
zadanie zamknięte
Liczbę \( \sqrt[4]{9\cdot \sqrt{3}}\) można zapisać w postaci:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 3
zadanie zamknięte
Liczba \( 2\,log5+3\,log2\) jest równa:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 4
zadanie zamknięte
Najmniejszą liczbą całkowitą spełniającą nierówność \( \frac{5(4-x)}{2}< x\) jest liczba:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 5
zadanie zamknięte
W zestawie \( 250\) liczb wystepują jedynie liczby \( 4\) i \( 2 \). Liczba \( 4\) występuje \( 128\) razy, a liczba \( 2\) występuje \( 122\) razy. Przyjęto przybliżenie średniej arytmetycznej zestawu tych wszystkich liczb do liczby \( 3 \). Błąd bezwzględny tego przybliżenia jest równy:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 6
zadanie zamknięte
Na początku miesiąca komputer kosztował \( 3500\) zł. W drugiej dekadzie tego miesiąca cenę komputera obniżono o \( 10\%\), w trzeciej dekadzie cena tego komputera została jeszcze raz obniżona, tym razem o \( 15\%\). Innych zmian ceny tego komputera w tym miesiącu już nie było. Cena komputera na koniec miesiąca była równa:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 7
zadanie zamknięte
Funkcje liniowe \( f\) i \( g\) określone wzorami \( f(x)=-4x+12\) i \( g(x)=-2x+k+3\) mają wspólne miejsce zerowe. Stąd wynika, że:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 8
zadanie zamknięte
Zbiorem wartości funkcji kwadratowej \( f\) określonej wzorem \( f(x)=-(x+9)^{2}+m\) jest przedział \( \left ( -\infty ,-5 \right \rangle.\) Wtedy:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 9
zadanie zamknięte
Osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej \( f\) określonej wzorem \( f(x)=\frac{1}{3}x^{2}+4x+7\) jest prosta o równaniu:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 10
zadanie zamknięte
Na rysunku poniżej przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej \( f \) określonej wzorem \( f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c \). Stąd wynika, że:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 11
zadanie zamknięte
Rozwiązaniem równania \( \frac{x^{2}-3x}{x^{2}+x}=0\) jest liczba:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 12
zadanie zamknięte
Do okręgu o środku w punkcie \( S=(2,4)\) należy punkt \( P=(1,3)\). Długość tego okręgu jest równa:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 13
zadanie zamknięte
Prosta \( l\) jest równoległa do prostej \( y=-\frac{1}{2}x+2\). Na prostej \( l\) leży punkt \( P=(0,7)\). Zatem równanie prostej \( l\) ma postać:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 14
zadanie zamknięte
Punkt \( S=(4,8)\) jest środkiem odcinka \( PQ\), którego koniec \( P\) leży na osi \( Oy\), a koniec \( Q\) - na osi \( Ox\). Wynika stąd, że:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 15
zadanie zamknięte
Przyprostokątna \( AC\) trójkąta prostokątnego \( ABC\) ma długość \( 6 \), a wysokość \( CD\) dzieli go na dwa takie trójkąty \( ADC\) i \( CDB\), że pole trójkąta \( ADC\) jest \( 4\) razy większe od pola trójkąta \( CDB\) (zobacz rysunek). Przyprostokątna \( BC\) trójkąta prostokątnego \( ABC\) jest równa:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 16
zadanie zamknięte
Punkty \( P=(-3,4)\) i \( O=(0,0)\) leżą na jednej prostej. Kąt \( \alpha \) jest kątem nachylenia tej prostej do osi \( Ox\) (zobacz rysunek). Wtedy tangens kąta \( \alpha \) jest równy:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 17
zadanie zamknięte
Kąt \( \alpha\) jest ostry oraz \( sin~\alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}\). Wtedy:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 18
zadanie zamknięte
W ciągu arytmetycznym \( (a_{n}) \), określonym dla każdej liczby naturalnej \( n\geq 1\), są dane dwa wyrazy: \( a_{1}=2\) i \( a_{2}=5 \). Stąd wynika, że \( n-\)ty wyraz tego ciągu jest określony wzorem:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 19
zadanie zamknięte
Funkcja \( f\) jest określona wzorem \( f(x)=\left ( \frac{1}{2} \right )^{x}\) dla wszystkich liczb rzeczywistych \( x\). Funkcja \( f\) dla argumentu \( x=-3\) przyjmuje wartość:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 20
zadanie zamknięte
Wielkości \( x\) i \( y\) są odwrotnie proporcjonalne (tabela poniżej). Stąd wynika, że:
x | y |
---|---|
a | 36 |
3 | 24 |
8 | b |
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 21
zadanie zamknięte
W prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie parę prostych prostopadłych opisują równania:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 22
zadanie zamknięte
Dane są punkty \( A=(4,1)\), \( B=(1,3)\), \( C=(4,-1)\). Pole trójkąta \( ABC\) jest równe:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 23
zadanie zamknięte
Ile jest wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych mniejszych od \( 2020\) i podzielnych przez \( 4\)?
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 24
zadanie zamknięte
Dane są graniastosłup i ostrosłup o takich samych podstawach. Liczba wszystkich wierzchołków tego graniastosłupa jest o \( 9\) większa od liczby wszystkich wierzchołków tego ostrosłupa. Podstawą każdej z tych brył jest:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 25
zadanie zamknięte
Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \( 12\). Suma długości wszystkich krawędzi tego sześcianu jest równa:
Odpowiedzi:
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 26
zadanie otwarte
Rozwiąż nierówność: \( -2x^{2}+5x+3\leqslant 0 \).
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 27
zadanie otwarte
Dany jest trzywyrazowy ciąg \( \left ( x+2,4x+2, x+11 \right ) \). Oblicz wszystkie wartości \( x \), dla których ten ciąg jest geometryczny.
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 28
zadanie otwarte
Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \( a \) i \( b \) prawdziwa jest nierówność \( a(a+b)+b^{2}> 3ab \).
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 29
zadanie otwarte
Dwa okręgi o promieniach \( r=2 \) i \( R=6 \) są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej \( k\). Wykaż, że prosta \( l \) przechodząca przez środki \( S \) i \( P \) tych okręgów przecina prostą \( k \) pod kątem \( \alpha =30^{\circ} \) (zobacz rysunek).
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 30
zadanie otwarte
Rozwiąż równanie \( \left ( x^{3}+8 \right ) \left ( x^{2}-9 \right )=0\).
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 31
zadanie otwarte
W pudełku jest \( 8 \) kul, z czego \( 5 \) białych i \( 3 \) czarne. Do tego pudełka dołożono \( n \) kul białych. Doświadczenie polega na losowaniu jednej kuli z tego pudełka. Prawdopodobieństwo, że będzie to kula biała, jest równe \( \frac{11}{12} \). Oblicz \( n \).
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 32
zadanie otwarte
Dany jest trójkąt równoramienny \( ABC \), w którym podstawa \( AB \) ma długość \( 12 \), a każde z ramion ma długość równą \( 10 \). Punkt \( D \) jest środkiem ramienia \( BC \) (zobacz rysunek).
Oblicz sinus kąta \( \alpha \), jaki środkowa \( AD \) tworzy z ramieniem \( AC \) trójkąta \( ABC \).
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 33
zadanie otwarte
Pole powierzchni bocznej stożka jest trzy razy większe od pola jego podstawy. Wysokość tego stożka jest równa \(12\). Oblicz objętość tego stożka.
Kompleksowe przygotowanie do matury: Zadanie nr 34
zadanie otwarte
Prosta o równaniu \( y=-2x+7 \) jest symetralną odcinka \( PQ \), gdzie \( P=(4,5) \). Oblicz współrzędne punktu \( Q \).