Wyrażenia algebraiczne

Miasto \( A\) i miasto \( B\) łączy linia kolejowa długości \( 210 \, km\). Średnia prędkość pociągu pospiesznego na tej trasie jest o \( 24 \, km/h\) większa od średniej prędkości pociągu osobowego. Pociąg pospieszny pokonuje tę trasę o \( 1\) godzinę krócej niż pociąg osobowy. Oblicz czas pokonania tej drogi przez pociąg pospieszny.

Uzasadnij, że jeśli liczby rzeczywiste \( a,b,c \) spełniają nierówności \( 0 < a < b < c\), to \( \frac{a+b+c}{3} > \frac{a+b}{2} \).

Uzasadnij, że dla każdej dodatniej liczby całkowitej \( n \) liczba \( 3^{n+2}-2^{n+2}+3^{n}-2^{n} \) jest wielokrotnością liczby \( 10\).

Wykaż, że dla dowolnych różnych liczb rzeczywistych \( a \) i \( b \) prawdziwa jest nierówność \( a(a+b)+b^{2}> 3ab \).

Uzasadnij, że jeśli \( (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac+bd)^{2} \), to \( ad=bc \).

Wykaż, że dla każdych trzech dodatnich liczb \( a,b \) i \( c \) takich, że \( a < b \), spełniona jest nierówność \( \frac{a}{b}< \frac{a+c}{b+c} \).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \( a \) i każdej liczby rzeczywistej \( b \) takich, że \( b\neq a, \) spełniona jest nierówność \( \frac{a^{2}+b^{2}}{2}> \left ( \frac{a+b}{2} \right )^{2} \).

Dla każdej liczby rzeczywistej \(a\) wyrażenie \((2 a-3)^{2}-(2 a+3)^{2} \) jest równe: