Wyrażenia algebraiczne

Wykaż, że reszta z dzielenia sumy kwadratów czterech kolejnych liczb naturalnych przez \(8\) jest równa \(6\).

Liczbę \( \frac{224}{1111} \) można zapisać w postaci nieskończonego ułamka dziesiętnego okresowego. Dwudziestą cyfrą po przecinku jego rozwinięcia jest:

Na rysunku przedstawiony jest przedział \( \left (-10,k \right \rangle,\) gdzie \( k\) jest liczbą całkowitą. Suma wszystkich liczb całkowitych należących do tego przedziału jest równa \( 21\). Stąd wynika, że:

Dla \( x=\frac{2}{\sqrt{2}}+1\) oraz \( y=\sqrt{2}-1\) wartość wyrażenia \( x^{2}-2xy+y^{2}\) jest równa:

Udowodnij, że każda liczba całkowita \(k\), która przy dzieleniu przez \(7\) daje resztę \(2\), ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby \(3 k^2\) przez \(7\) jest równa \(5\).

Wykaż, że liczba \(4^{2017}+4^{2018}+4^{2019}+4^{2020}\) jest podzielna przez \(17\).

Wykaż, że liczba \(6^{100}-2 \cdot 6^{99}+10 \cdot 6^{98}\) jest podzielna przez \(17\).

Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych \(x, y, z\) takich, że \(x+y+z=0\), prawdziwa jest nierówność \(x y+y z+z x \leqslant 0\). Możesz skorzystać z tożsamości \((x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2 x y+2 x z+2 y z\).