Silnia. Współczynnik dwumianowy

Silnią liczby całkowitej dodatniej \( n \) nazywamy iloczyn kolejnych liczb całkowitych od \( 1 \) do \( n \) włącznie:

\[ n!=1*2*…*n \]

Ponadto przyjmujemy umowę, że \( 0!=1 \)

Dla dowolnej liczby całkowitej \( n\geq 0 \) zachodzi związek:

\[ \left(n+1\right)!=n!\left(n+1 \right) \]

Dla liczb całkowitych \( n, k \) spełniających warunki \( 0\leq k\leq n \) definiujemy współczynnik dwumianowy \( \begin{pmatrix} n\\ k\end {pmatrix} \) (symbol Newtona):

\[ \begin{pmatrix} n\\ k\end {pmatrix}=\frac{n!}{k!\left(n-k \right)!} \]

Zachodzą nierówności:

\[ \begin{pmatrix} n\\ k\end {pmatrix}=\begin{pmatrix} n\\ n-k \end{pmatrix} \]

\[ \begin{pmatrix} n\\ 0\end {pmatrix}=1 \]

\[ \begin{pmatrix} n\\ n\end {pmatrix}=1 \]