Rachunek prawdopodobieństwa - Wzory

Własności prawdopodobieństwa

\[ 0\leq P\left(A \right)\leq 1 \]

dla każdego zdarzenia \( A \subset \Omega \)

\[ P\left(\Omega \right)= 1 \]

zdarzenie pewne

\[ P\left( \oslash \right) =0 \]

\( \oslash \) – zdarzenie niemożliwe (pusty zbiór \( \Omega \) )

\[ P\left(A \right)\leq P\left(B \right) \]

\( A \subset B \subset \Omega \)

\[ P\left( A’ \right) = 1-P\left( A \right) \]

gdzie \( A’ \) oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia \( A \)

\[ P\left(A \cup{} B \right)= P\left(A \right)+P\left(B \right)-P\left(A \cap{} B \right) \]

dla dowolnych zdarzeń \( A, B\subset \Omega \)

\[ P\left(A \cup B \right)\leq P\left(A \right)+P\left(B \right) \]

dla dowolnych zdarzeń \( A, B\subset \Omega \)

Twierdzenie: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech \( \Omega \) będzie niepustym skończonym zbiorem wszystkich zdarzeń elementarnych. Jeżeli wszystkie zdarzenia jednoelementowe są jednakowo prawdopodobne, to prawdopodobieństwo zdarzenia \( A \) jest równe:

\[ P\left(A \right)=\frac{\left|A \right|}{\left| \Omega \right|} \]

gdzie \( \left|A \right| \) oznacza liczbę elementów zbioru \( A \), natomiast \( \left| \Omega \right| \) liczbę elementów zbioru \( \Omega \).

Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech \( A,B \) będą zdarzeniami losowymi zawartymi w \( \Omega \), przy czym \( P\left(B \right)>0 \). Prawdopodobieństwem warunkowym \( P\left(A|B \right) \) nazywamy liczbę:

\[ P\left(A|B \right)=\frac{P\left(A \cap B \right)}{P\left(B \right)} \]