Egzamin próbny – Styczeń 2013

Liczymy:

\( x=2^{2}\cdot 16^{-14}=2^{2}\cdot (2^{4})^{-4}= \)

\( =2^{2}\cdot 2^{-16}=2^{2-16}=2^{-14}\)

Średnia prędkość Hani jest równa:

\( \frac{100\,m}{30\,min}=\frac{\frac{1}{10}\,km}{\frac{1}{2}h}= \)

\( =\frac{2}{10}\frac{km}{h}=0,2\frac{km}{h}\)

Prosta równoległa do danej prostej musi mieć taki sam współczynnik kierunkowy, co pozostawia nas z odpowiedzią \( y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\).

Mianownik jest równy zero, gdy \( x=6 \) lub \( x=1 \), więc dziedziną funkcji \( f \) jest więc:

\( \mathbb{R}\setminus \left \{ 1,6 \right \} \)

Po przesunięciu wykres funkcji o dwie jednostki w prawo otrzymamy wykres funkcji:

\( y=2(x-2)-3 \)

Jeżeli ten wykres przesuniemy teraz o \( 4 \) jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji:

\( y=2(x-2)-3+4=2(x-2)+1 \)

Wykres funkcji \( f(x)=3^{x+2}-3 \) powstaje z wykresu funkcji wykładniczej \( y=3^{x} \) przez przesunięcie o \( 2 \) jednostki w lewo i \( 3 \) jednostki w dół.

Gdy naszkicujemy ten wykres to widać, że zbiorem wartości funkcji \( f \) jest przedział: \( (-3, +\infty ) \).

Ponieważ środek trójkąta równobocznego dzieli każdą z wysokości w stosunku \( 2:1\), promień okręgu opisanego na trójkącie równobocznym to \( \frac{2}{3}\) wysokości, czyli:

\( R=\frac{2}{3}\cdot 9=6 \)

Pole koła opisanego jest więc równe:

\( P=\pi R^{2}=36\pi \)

Na początku szkicujemy trójkąt prostokątny:

Z obrazka widać, że większy kąt to kąt naprzeciwko boku długości \( 8\) (jest to zresztą ogólna prawidłowość: zawsze w trójkącie większy kąt leży naprzeciwko dłuższego boku). Zatem szukany sinus to:

\( sin\alpha= \frac{8}{\sqrt{36+64}}= \frac{8}{\sqrt{100}}=\frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

Proste \( y=ax+b \) i \( y=cx+d \) są prostopadłe jeżeli \( ac=-1\). Mamy zatem:

\( -3\left ( \frac{1}{3}a^{2}-\frac{4}{3} \right )=-1\,\, \cdot (-1) \)

\( a^{2}=4=1 \)

\( a^{2}=5 \)

\( a= -\sqrt{5} \,\, \vee \,\, a=\sqrt{5} \)

Powiedzmy, że odcinek został podzielony na części o długościach \( 2x,3x,5x\). W takim razie (liczymy w centymetrach):

\( 240=2x+3x+5x=10x\,\,\,\Rightarrow\,\,\,x=24 \)

Najdłuższa część ma więc długość \( 5x=120\) cm.

Liczymy:

\( x^{2}<4 \)

\( x^{2}-4<0 \)

\( (x-2)(x+2)<0 \)

Szkicujemy wykres tej paraboli i odczytujemy z niego rozwiązanie.

Zbiorem rozwiązań tej nierówności jest przedział \( (-2,2) \).

Rozpocznijmy od wyznaczenia pierwiastków danego wielomianu:

\( 4x^{3}-x^{2}-4x+1= \)

\( =x^{2}(4x-1)-(4x-1)= \)

\( =(x^{2}-1)(4x-1)= \)

\( =4(x-1)(x+1)\left ( x-\frac{1}{4} \right ) \)

Wielomian \( W(x)\) ma zatem trzy pierwiastki \( \left \{ -1,\frac{1}{4},1 \right \}\) i suma ich odwrotności jest równa:

\( -1+4+1=4 \)

Liczymy:

\( 2log_{\frac{1}{5}}125=2log_{\frac{1}{5}}5^{3}= \)

\( =2log_{\frac{1}{5}}\left ( \frac{1}{5} \right )^{-3}=2\cdot (-3)=-6\)

Liczymy:

\( 0=W(3\sqrt{2})=(3\sqrt{2})^{2}-2a \)

\( 2a=18 \)

\( a=9 \)

Łącznie wystawionych ocen jest:

\( 2 + 3 + 7 + 6 + 4 + 2 = 24 \)

Teraz musimy sobie wyobrazić,że ustawiamy wszystkie te oceny w kolejności rosnącej i przypisujemy im w kolejności numery od \( 1\) do \( 24\). Wówczas mediana˛ będzie średnią ocen, które będą w środku, czyli tych z numerami \( 12\) i \( 13\). Sprawdzamy jakie to będą oceny. Pierwsze dwanaście ocen w tym ciągu to: \( 1,2,3\). Zatem dwunasta ocena to \( 3\), a trzynasta to \( 4\). Zatem mediana jest równa:

\( \frac{3+4}{2}=3,5 \)

Z jedynki trygonometrycznej mamy:

\( cos^{2}\alpha=1-sin^{2}\alpha \)

Zatem:

\( \frac{1-sin^{2}\alpha }{\frac{1}{tg^{2}\,\alpha}}=cos^{2}\alpha\cdot tg^{2}\alpha= \)

\( =cos^{2}\alpha\cdot \frac{sin^{2}\alpha}{cos^{2}\alpha}= sin^{2}\alpha \)

Ponieważ funkcja ma być malejąca w przedziale \( \left ( -\infty;2 \right \rangle\), jej wykresem musi być parabola o ramionach skierowanych w górę i pierwszej współrzędnej wierzchołka równej \( p=2\). Zbiór wartości będący przedziałem \( \left \langle -4;+ \infty \right )\) oznacza, że druga współrzędna wierzchołka jest równa \( q=-4\). Dana funkcja ma więc postać kanoniczną:

\( y=(x-p)^{2}+q=(x-2)^{2}-4 \)

Liczymy:

\( a_{2}=(-2)^{6}\cdot (4-4)=0 \)

Liczymy błąd bezwzględny:

\( 500-468=32 \)

Obliczymy błąd względny:

\( \frac{32}{468}\approx 0,068=6,8\%\)

Jeżeli trzy liczby \( a,b,c\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego to \( b^{2}=ac\). Daje to nam równanie:

\( (2x-1)^{2}
=2\cdot0,5=1 \)

\( 2x-1=\pm 1 \)

\( 2x-1\,\,\,\vee \,\,\,2x=0 \)

\( x=1\,\,\,\vee \,\,\,x=0 \)

Ponieważ ciąg ma być monotoniczny, musi być \( x=1\).

Ponieważ liczba \( \left | x-a \right |\) jest równa odległości \( x\) od \( a\) na osi liczbowej, nierówność

\( \left | x-(-3) \right |> 4 \)

spełniają wszystkie liczby , które są odległe od \( -3\) o więcej niż \( 4\), czyli zbiorem rozwiązań jest przedział:

\( \left ( -\infty ,-7 \right )\cup (1,+\infty ) \)

Rozwiązujemy równanie:

\( \frac{3}{5}=\frac{x}{4+x} \)

\( 3(4+x)=5x \)

\( 12=2x\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x=6 \)

Jeżeli oznaczymy przez \( a\) długość sześcianu to widać, że mamy:

\( \frac{\sqrt{2}}{4}=a\sqrt{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,\, a= \frac{1}{4}\)

Objętość sześcianu jest więc równa:

\( V=a^{3}=\frac{1}{64} \)