Egzamin próbny – Styczeń 2012

Nierówność \( \left | x-3 \right |\leqslant 2\) spełniają liczby, które są odległe od liczby \( 3\) o nie więcej niż \( 2\). Rozwiązaniem jest więc przedział:

\( \left \langle 3-2,3+2 \right \rangle=\left \langle 1,5 \right \rangle \)

Liczymy:

\( \frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3}}{\sqrt{27}}= \frac{3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}}{\sqrt{3^{3}}}=\frac{3^{\frac{1}{2}}\cdot 3^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{3}{2}}}= \)

\( =3^{\frac{5}6-\frac{3}{2}{}}=3^{-\frac{4}{6}}=3^{-\frac{2}{3}} \)

Zatem \( a=-\frac{2}{3}\).

Liczymy:

\( xy=(1-2\sqrt{2})\sqrt{2}= \)

\( =\sqrt{2}-2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=\sqrt{2}-4 \)

Wstawiamy \( 3\) do kolejnych mianowników i sprawdzamy kiedy wyjdzie \( 0\).

\( x^{2}+6x+9=9+18+9>0 \)

\( x^{2}-6x+9=9-18+9=0 \)

\( x^{2}+9=9+9>0 \)

\( x+3=3+3>0 \)

Widać, że zero wychodzi tylko w jednym wyrażeniu.

Wykresem funkcji kwadratowej z lewej strony nierówności jest parabola o ramionach skierowanych w górę, która jest styczna do osi \( Ox\) w punkcie \( (2,0)\):

Zatem rozwiązaniem nierówności jest zbiór \( (-\infty,2) \cup (2,+\infty)\).

Przekształcamy dane równania (wyłączamy \( x+3 \)):

\( x^{3}+3x^{2}-4x-12=x^{2}(x+3)-4(x+3)= \)

\( =(x^{2}-4)(x+3)=(x-2)(x+2)(x+3) \)

Pierwiastkami równania są więc liczby \( -3,-2,2\).

Sprawdzamy kiedy zeruje się każdy z podanych wzorów.

\( \frac{1}{2}x+1=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x=-2 \)

Liczba ta znajduje się w przedziale \(\left ( -\infty,0 \right \rangle \), więc jest to miejsce zerowe.

\( -\frac{1}{5}x+1=0\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,x=5 \)

Ten punkt ten nie spełnia założenia: \( (0,5)\).

\( x-5=0\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,x=5 \)

Liczba ta spełnia warunek \( x\geqslant 5\), więc jest to drugie miejsce zerowe tej funkcji. Na koniec wykres:

Obliczmy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji \( y=f(x)\):

\( p=\frac{-b}{2a}=\frac{12}{4}=3\)

Ponieważ punkt ten znajduje się w danym przedziale najmniejszą wartością funkcji w tym przedziale jest:

\( f(3)=2\cdot 9-12\cdot 3+10= \)

\( =18-36+10=-8 \)

Wyznaczamy pierwszy wyraz:

\( a_{1}=S_{1}=1^{2}+5=6 \)

Liczymy:

\( S_{2}=a_{1}+a_{2} \)

\( S_{2}=2^{2}+5\cdot2=14 \)

\( 6+a_{2}=14\,\,\,\Leftrightarrow\,\,\,a_{2}=8 \)

Liczymy:

\( a_{5}=a_{1} \cdot q^{4}=64\cdot \left ( -\frac{1}{2} \right )^{4}= \)

\( =64\cdot \frac{1}{16}=4 \)

Na początku szkicujemy trójkąt prostokątny.

Z obrazka widać, że najmniejszy kąt to kąt naprzeciwko boku długości \( 6\). Zatem szukany tangens to:

\( tg\alpha=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} \)

Pierwszy nawias zeruje się gdy \( cos\,\alpha=\frac{1}{2}\), czyli dla \( \alpha=60^{\circ}\). Drugi nawias zeruje się gdy \( sin\,\alpha=\frac{1}{2}\), czyli dla \( \alpha=30^{\circ}\).

Dopiszemy oznaczenia do zaznaczonych punktów.

Trójkąt \( ABS\) jest równoramienny, więc:

\( \measuredangle ASB=180^{\circ}-2\cdot \measuredangle ABS= \)

\( =180^{\circ}-80^{\circ}=100^{\circ} \)

Teraz wystarczy zauważyć że kąt \( \measuredangle ACB\) jest kątem wpisanym opartym na tym samym łuku co kąt środkowy \( \measuredangle ASB\). Zatem:

\( \measuredangle ACB=\frac{1}{2}\measuredangle ASB =50^{\circ}\)

Kąt środkowy oparty na \( \frac{1}{6}\) okręgu ma miarę:

\( \frac{1}{6}\cdot 360^{\circ}=60^{\circ} \)

Miara kąta środkowego jest zawsze dwa razy większa od miary kąta wpisanego opisanego na tym samym łuku.

Zatem kąt wpisany oparty na \( \frac{1}{6}\) okręgu ma miarę:

\( \frac{1}{2}\cdot 60^{\circ}=30^{\circ} \)

Suma tych miar jest równa:

\( 60^{\circ}+30^{\circ}=90^{\circ} \)

Jeżeli narysujemy (lub przynajmniej wyobrazimy) sobie kwadrat \( ABCD\) to widać, że mamy dane końce przekątnej kwadratu.

Jej długość jest więc równa:

\( AC=\sqrt{(4-1)^{2}+(-2-4)^{2}}= \)

\( =\sqrt{9+36}=\sqrt{45} \)

Ponieważ przekątna kwadratu o boku \( a\) ma długość \( a\sqrt{2}\), naszej sytuacji mamy \( a=\frac{\sqrt{45}}{\sqrt{2}} \). Pole jest więc równe:

\( a^{2}=\frac{45}{2}=22\frac{1}{2} \)

Zauważmy, że trójkąty \( OAB\) i \( OCD\) mają równe kąty więc są podobne.

Mamy zatem:

\( \frac{3}{3+5}=\frac{x}{16}\)

\( x=\frac{3}{8}\cdot 16=6\)

Przekształcamy równanie tak, żeby było widać jaki jest środek i promień okręgu.

\( x^{2}+y^{2}-12x+33=0 \)

\( (x-6)^{2}+y^{2}-36+33=0 \)

\( (x-6)^{2}+y^{2}=3 \)

\( (x-6)^{2}+y^{2}=(\sqrt{3})^{2}\)

Promień okręgu jest więc równy \( \sqrt{3}\).

Rozpoczynamy od rysunku.

Z obrazka widać, że:

\( tg\alpha=\frac{SF}{FE}=\frac{5}{2}\)

Jeżeli naszkicujemy sześcian to widać, że środkiem kuli wpisanej w sześcian jest środek sześcianu, a jej promień to połowa długości jego krawędzi, czyli \( r = 1\).

Objętość tej kuli jest równa:

\( \frac{4}{3}\pi \cdot r^{3}=\frac{4}{3} \pi \)

Przypomnijmy, że liczbę nazywamy pierwszą jeżeli jej dzielnikami są \( 1\) i ona sama. Liczby pierwsze należące do zbioru \( \left \langle 2;7 \right )\) to:

\( 2,3,5 \)

Liczymy średnią:

\( \frac{2+3+5}{3} =\frac{10}{3}\)

Liczymy średnią:

\( \frac{1+3+2+4+3}{5}=\frac{13}{5}=2,6 \)

Jeżeli wypiszemy te liczby w rosnącym porządku: \( 1, 2, 3, 3, 4\) to widać, że mediana jest równa \( 3\) (środkowa liczba).

Wszystkich kartek jest \( 5\), więc pierwszą kartkę (a więc pierwszą cyfrę) możemy na \( 5\) sposobów. Drugą kartkę możemy już wybrać tylko na \( 4\) sposoby, a trzecią na \( 3\). Wszystkich możliwości jest więc (zasada mnożenia):

\( 5\cdot 4\cdot 3=60 \)

Pierwszą cyfrę takiej liczby możemy wybrać na \( 9\) sposobów (nie może być \( 0\)), a drugą na \( 10\) sposobów. Trzecia cyfra jest taka sama jak pierwsza. Razem jest więc takich liczb (zasada mnożenia):

\( 9\cdot 10=90 \)