Egzamin próbny – Styczeń 2011

Usuwamy niewymierność z mianownika:

\( 2\sqrt{2}-\frac{\sqrt{2+1} }{\sqrt{2}-1 }=2\sqrt{2}-\frac{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}-1)}= \)

\( =2\sqrt{2}-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1}=2\sqrt{2}-3-2\sqrt{2}=-3 \)

Oczywiście:

\( b=125\%a=1,25a= \)

\( =a+0,25a=a+25\%a \)

Przypomnijmy, że liczba \( \left | x \right |\) jest równa odległości liczby \( x\) od punktu \( 0\). Ponieważ przedział \( \left \langle -6,6 \right \rangle\) jest zbiorem liczb, których odległość od \( 0\) jest nie większa niż \( 6\), więc jest on rozwiązaniem nierówności \( \left | x \right |\leqslant 6\).

Z definicji logarytmu mamy:

\( log_{x}\frac{1}{64}=-4\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\, x^{-4}=\frac{1}{64} \)

Więc:

\( \frac{1}{x^{4}}=\frac{1}{64} \)

\( x^{4}=64=2^{6} \)

\( x= \sqrt[4]{2^{6}}=\sqrt{2^{3}}=2\sqrt{2} \)

Liczymy:

\( \frac{2^{2010}}{2}=2^{2010-1}=2^{2009} \)

Przy wymnażaniu wielomianów największą potęgą \( x\) będzie:

\( (-3x^{2})\cdot 2x^{3}=-6x^{5}\)

Liczymy:

\( log_{2}\,8=3 \)

Podstawiajac do naszego wyrażenia \( log_{4}\left [ log_{3}(log_{2}8) \right ]\) otrzymujemy:

\( log_{4}\left ( log_{3}\,3 \right ) \)

Z kolei:

\( log_{3}\,3=1 \)

Podstawiajac do naszego wyrażenia \( log_{4}\left ( log_{3}\,3 \right ) \) otrzymujemy:

\( log_{4}1=0 \)

Liczymy:

\( \frac{2-x}{x-2}=-\frac{x-2}{x-2}=-1 \)

Rozwiązujemy daną nierówność:

\( x^{2}-7x-5<0 \)

\( \Delta=49-4\cdot1\cdot(-5)=69 \)

\( x_{1}=\frac{7-\sqrt{69} }{2}\approx -0,7,\,\,\,x_{2}=\frac{7+\sqrt{69} }{2}= 7,7 \)

\( x\in (-0,7; 7,7) \)

Zatem najmniejszą liczbą naturalną, która nie spełnia tego warunku jest \( 8\).

Z podanego wykresu widać, że wykres funkcji przechodzi przez punkty \( (0,1) \) i \( (4, -2)\).

Zdanego rysunku widać, że mamy do czynienia z funkcją malejącą, więc jest to albo funkcja \( y=-\frac{3}{4}x+1 \), albo \( y=-3x+1 \). Sprawdzamy teraz, że tylko pierwsza z nich przechodzi przez punkt \( (4,-2)\).

Osią symetrii paraboli \( f(x)=-x^{2}-4x+7\) jest pionowa prosta przechodząca przez wierzchołek. Pierwsza współrzędna wierzchołka jest równa:

\( p=\frac{-b}{2a}=\frac{4}{-2}=-2\)

Zatem jest to prosta \( x=-2\).

Liczymy:

\( sin30^{\circ}\cdot cos60^{\circ}-2tg45^{\circ}= \)

\( =\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}-2=\frac{1}{4}-2=-\frac{7}{4} \)

Ponieważ \( cos\,30^{\circ}=\frac{\sqrt{3} }{2}
\) rozwiązaniem danego równania jest \( x=30^{\circ}\).

Miara kąta wpisanego opartego na tym samym łuku co kąt środkowy jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego, czyli jest równa \( \frac{78^{\circ}}{2}=39^{\circ}\).

Odczytujemy z wykresu: jest to przedział \( \left \langle 1,3 \right \rangle\).

Ponieważ:

\( AE=AB-EB=9-6=3 \)

Mamy:

\( \frac{h}{3}=tg\,60^{\circ}=\sqrt{3}\,\,\,\Rightarrow \,\,\,h=3\sqrt{3} \)

Zauważmy, że oba narysowane trójkąty są do siebie podobne więc, na przykład:

\( \frac{x}{3}=\frac{12}{6}=2\,\,\, \Rightarrow \,\,\,x=6 \)

Ponieważ sześcian ma \( 12\) krawędzi, krawędź sześcianu ma długość \( \frac{24}{12}=2\).

Zatem objętość jest równa:

\( V=a^{3}=8 \)

Liczymy:

\( V=\frac{4}{3}\pi^{3}=\frac{3}{4}\cdot \pi \cdot \pi^{3}= \frac{4}{3}\pi^{4} \)

Jeżeli oznaczymy szukane prawdopodobienstwo przez \( p\) to mamy równanie:

\( p=\frac{1}{6}(1-p)\,\,\,/\cdot 6 \)

\( 6p+p=1 \)

\( 7p=1\,\,\, \Rightarrow \,\,\, p=\frac{1}{7} \)

Pierwszą cyfrę takiej liczby możemy wybrać spośród liczb: \( 2,4,6,8\) czyli na \( 4\) sposoby. Drugą cyfrę można natomiast wybrać na \( 5\) sposobów: jest to jedna z liczb \( 1,3,5,7,9\). Razem mamy więc możliwości (zasada mnożenia):

\( 4\cdot 5=20 \)

Rozwiązujemy nierówność:

\( 2-\frac{1}{4}n>0 \)

\( \frac{1}{4}n\,\,\, \Rightarrow \,\,\,n<8 \)

Zatem większe od zera są wyrazy o numerach:

\( 1,2,3,4,5,6,7 \)