Egzamin próbny – Marzec 2020

Zysk w kolejnych miesiącach był kolejny równy:

\( 5000 \)

\( 5000\cdot 105\%=5000\cdot 1,05 \)

\( 50000\cdot 1,05\cdot 1,05=5000\cdot 1,05^{2} \)

\( 5000\cdot 1,05^{2}\cdot 1,05=5000\cdot 1,05^{3} \)

\( 5000\cdot 1,05^{3}\cdot 1,05=5000\cdot 1,05^{4} \)

\( 5000\cdot 1,05^{4}\cdot 1,05=5000\cdot 1,05^{5} \)

Liczymy:

\( 2\sqrt[5]{243}-\sqrt[3]{25}\cdot 3\sqrt[3]{-5}+\sqrt[4]{256}= \)

\( = 2\sqrt[5]{3^{5}}-3 \sqrt[3]{5^{2}\cdot (-5)}+\sqrt[4]{4^{4}}=\)

\( =2\cdot 3-3\sqrt[3]{(-5)^{3}}+4= \)

\( =10-3\cdot (-5)=25 \)

Liczymy:

\( log_{2} 8\, \sqrt{2}=log_{2}\left (2^{3} \cdot 2^{\frac{1}{2}} \right )= \)

\( =log_{2}2^{3+\frac{1}{2}}=log_{2} \, 2^{\frac{7}{2}}=\frac{7}{2} \)

Korzystamy z następujących wzorów skróconego mnożenia:

\( (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} \)

\( (a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2} \)

Mamy zatem:

\( (x-3)^{2}-(x+1)(x-1)= \)

\(=(x^{2}-6x+9)- (x^{2}-1)= \)

\( =x^{2}-6x+9-x^{2}+1= \)

\( =10-6x \)

Przekształćmy daną nierówność:

\( x-\frac{7x-10}{4}<\frac{1}{2}\,\,\,/ \cdot 4 \)

\( 4x-(7x-10)<2 \)

\( -3x < -8\,\,\,/:(-3) \)

\( x>\frac{8}{3} \approx 2,7\)

Najmniejsza liczba całkowita spełniająca tę nierówność to \( x=3\).

Iloczyn wyrażeń równa się zero, wtedy i tylko wtedy gdy jedno z tych wyrażeń wynosi zero, zatem:

\( \frac{1}{2}x-1,5=0 \)

\( x=3 \)

\( x^{2}-16=0 \)

\( (x-4)(x+4)=0 \)

Widać teraz że równanie ma trzy rozwiązania: \( x=3, x=4\) i \( x=-4\).

Sprawdzamy na rysunku dla jakich argumentów wykres funkcji znajduje się powyżej lub na osi \( Ox\). Tak jest dla:

\( x\in \left \langle -6,-5 \right \rangle \cup \left \langle -3,1 \right \rangle \cup \left \langle 4,5 \right ) \)

Na wykresie widać, że wykres funkcji \( y=\frac{4}{x}\) został przesunięty o \( 3\) jednostki w prawo. Jest to więc wykres:

\( f(x)=\frac{4}{x-3} \)

Funkcja liniowa jest rosnąca, jeżeli ma dodatni współczynnik kierunkowy (współczynnik przy \( x\)), czyli:

\( 0<-(m+1)=-m-1 \)

\( m<-1 \)

Podany kąt nachylenia prostej oznacza, że jest współczynnik kierunkowy jest równy:

\( a=tg \, 135^{\circ}=tg(180^{\circ}-45^{\circ})= \)

\( =-tg45^{\circ}=-1 \)

To oznacza, że prosta \( l\) ma równanie postaci:

\( y=-x+b \)

Współczynnik \( b\) wyznaczamy podstawiając współrzędne punktu \( (-3,8)\):

\( 8=3+b\,\,\,\Rightarrow\,\,\,b=5 \)

Szukana prosta ma więc równanie:

\( y=-x+5\)

Proste \( y=ax+b\) i \( y=cx+d\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy \( ac=-1\). W takim razie proste prostopadłe to \( k\) i \( l\).

Robimy szkicowy rysunek i zauważamy, że środkiem \( S\) odcinka \( A{A}'\) musi być punkt leżący na danej prostej \( x=-4\) oraz na tej samej wysokości co punkt \( {A}'\).

Zatem \( S=(-4,-2)\). To pozwala łatwo wyznaczyć współrzędne punktu \( {A}'=(x,-2)\).

\( S=(-4,-2)=\left ( \frac{-1+x}{2} ,-2\right ) \)

\( \frac{-1+x}{2}=-4 \,\,\, / \cdot 2 \)

\( -8=-1+x\,\,\,\Rightarrow \,\,\,x=-7 \)

Przypomnijmy, że wykresem funkcji kwadratowej

\( f(x)=a(x-p)^{2}+q \):

jest parabola o wierzchołku \( (p, q)\). W naszej sytuacji wzór funkcji musi więc mieć postać:

\( f(x)=a(x+1)^{2}+3\)

Wśród podanych w odpowiedziach wzorów tylko jeden ma taką postać: \( f(x)=2(x+1)^{2}+3\).

Przekształcamy wzór na ciąg:

\( a_{n}=\frac{n-15}{n}= \frac{n}{n}-\frac{15}{n}=1-\frac{15}{n}\)

Teraz widać, że wyrazy całkowite otrzymamy tylko wtedy, gdy \( n\) będzie dzielnikiem \( 15\). Wypiszmy dzielniki \( 15\):

\( 1,3,5,15 \)

Zatem ciąg zawiera \( 4\) wyrazy całkowite.

W ciągu arytmetycznym środkowy wyraz jest średnią arytmetyczną sąsiednich, więc:

\( x^{3}=\frac{3-57}{2}=-27 \)

\( x=-3 \)

Liczymy

\( 21=a_{1}+a_{2}+a_{3} \)

\( 21=a_{1}+a_{1}q+a_{1}q^{2} \)

\( 21=3(1+q+q^{2})\,\,\,/:3 \)

\( q^{2}+q-6=0 \)

\( \Delta= 1+24=25 \)

\( q= \frac{-1-5}{2} \vee q= \frac{-1+5}{2} \)

\( q=-3 \vee q=2 \)

Ciąg ma być rosnący, więc \( q=2\).

Ponieważ \( cos(90^{\circ}-\alpha)=sin\alpha\), na mocy jedynki trygonometrycznej mamy:

\( 2cos^{2}23^{\circ}= 2sin^{2}67^{\circ} \)

Zatem:

\( 3cos^{2}67^{\circ}+2cos^{2}23^{\circ}+sin^{2}67^{\circ}= \)

\( =3cos^{2}67^{\circ}+2sin^{2}67^{\circ}+sin^{2}67^{\circ}= \)

\( =3cos^{2}67^{\circ}+3sin^{2}67^{\circ}= \)

\( =3(cos^{2}67^{\circ}+sin^{2}67^{\circ})=3 \)

Wiemy, że:

\( 0,28=sin\alpha=\frac{a}{c}=\frac{7}{c} \)

\( c=\frac{7}{0,28}=\frac{1}{0,04}=25 \)

Stąd:

\( b= \sqrt{c^{2}-a^{2}}= \sqrt{25^{2}-7^{2}}= \)

\( =\sqrt{625-49}=\sqrt{576}=24\)

Ponieważ styczna jest prostopadła do promienia \( KS_{2}\), to trójkąt \( KS_{2}S_{1}\) jest prostokątny. Ponadto \( KS_{2}=6\) więc:

\( KS_{1}=\sqrt{(S_{1}S_{2})^{2}-(KS_{2})^{2}}= \)

\( =\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{64}=8\)

Najpierw szkicowy rysunek.

Kąt ostry rombu ma miarę:

\( 180^{\circ}-150^{\circ}=30^{\circ} \)

Korzystamy ze wzoru na pole równoległoboku z sinusem:

\( P=6\cdot 6\cdot sin\,30^{\circ}=36\cdot \frac{1}{2}=18 \)

Korzystamy z faktu, że kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku (na danym obrazku jest to łuk \( AMC\)).

Zatem:

\( 4\alpha+\alpha=360^{\circ}\,\,\, \Rightarrow \,\,\,\alpha=72^{\circ} \)

Zaczynamy od rysunku.

Obwód okręgu w podstawie stożka jest równy \( 2\pi \cdot 6=12\pi\). Z drugiej strony jest to długość łuku wycinka kołowego, o którym mowa w treści zadania. Ten wycinek z kolei to \( \frac{1}{3}\) całego koła. Jeżeli oznaczymy przez \( r\) promień tego wycinka kołowego, mamy więc:

\( 12\pi=\frac{1}{3}\cdot 2\pi r\,\,\,\Rightarrow \,\,\,r=18 \)

Pole boczne stożka jest więc równe:

\( \pi \cdot 6 \cdot 18=108\pi\,\,cm^{2} \)

Jeżeli w podstawie graniastosłupa jest \( n\) -kąt to ma on \( 3n\) krawędzi (po \( n\) w podstawach i \( n\) bocznych).

Zatem:

\( 3n=57\,\,\,\Rightarrow \,\,\,n=19 \)

Graniastosłup ma więc \( n+2=21\) ścian ( \( 2\) podstawy i \( n\) ścian bocznych).

Liczymy średni wzrost:

\( s= \frac{141 + 143 + 146 + 143 + 142}{5}\)

\( s= \frac{715}{5}=143\)

Liczymy wariancję:

\( \sigma^{2}=\frac{(-2)^{2}+0^{2}+3^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}{5}=2,8 \)

Liczymy odchylenie standardowe:

\( \sigma =\sqrt{\sigma^{2}} =\sqrt{2,8}\,\,cm \)

Blok trzech cyfr parzystych możemy umieścić w takiej liczbie na \( 4\) sposoby:

\( pppnnn, npppnn, nnpppn, nnnppp \)

Jak już mamy ustalone, gdzie ma się znajdować blog liczb parzystych, to liczby parzyste możemy ustawić na \( 3!=6\) sposobów i liczby nieparzyste też na \( 3!=6\) sposobów. W sumie jest więc takich liczb:

\( 4\cdot 6\cdot 6=144 \)