Egzamin maturalny – Maj 2022Arkusz maturalny

Ciąg \(\left(a_n\right)\) jest określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geqslant 1\) wzorem \(a_n=\frac{(7 p-1) n^3+5 p n-3}{(p+1) n^3+n^2+p}\), gdzie \(p\) jest liczbą rzeczywistą dodatnią. Oblicz wartość \(p\), dla której granica ciągu \(\left(a_n\right)\) jest równa \(\frac{4}{3}\).

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej liczby rzeczywistej \(y\) takich, że \( 2 x> y \), spełniona jest nierówność \(7 x^3+4 x^2 y \geqslant y^3+2 x y^2-x^3\).

Rozwiąż równanie \( |x-3|=2 x+11 \).

Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(C D\) jest o \( 2 \) mniejsza od długości podstawy \(A B\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(C P D\) jest o \( 3 \) mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(A P B\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|D P|^2+|C P|^2-|C D|^2=\frac{4 \sqrt{2}}{3} \cdot|D P| \cdot|C P|\).

Reszta z dzielenia wielomianu \(W(x)=4 x^3-6 x^2-(5 m+1) x-2 m\) przez dwumian \(x+2\) jest równa \((-30)\). Oblicz \(m\) i dla wyznaczonej wartości \(m\) rozwiąż nierówność \(W(x) \geqslant 0\).

Ciąg \(\left(a_n\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geqslant 1\), jest geometryczny i ma wszystkie wyrazy dodatnie. Ponadto \(a_1=675\) i \(a_{22}=\frac{5}{4} a_{23}+\frac{1}{5} a_{21}\). Ciąg \(\left(b_n\right)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \geqslant 1\), jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów ciągu \(\left(a_n\right)\) jest równa sumie dwudziestu pięciu początkowych kolejnych wyrazów ciągu \(\left(b_n\right)\). Ponadto \(a_3=b_4\). Oblicz \( b_{1}\).

Rozwiąż równanie \(\sin x+\sin 2 x+\sin 3 x=0\) w przedziale \(\langle 0, \pi\rangle\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-(m+1) x+m=0\) ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \( x_1 \neq 0, x_2 \neq 0 \) oraz \( \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+2=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\).

Dany jest graniastosłup prosty \(A B C D E F G H\) o podstawie prostokątnej \(A B C D\). Przekątne \(A H\) i \(A F\) ścian bocznych tworzą kąt ostry o mierze \(\alpha\) takiej, że \(\sin \alpha=\frac{12}{13}\) (zobacz rysunek). Pole trójkąta \(A F H\) jest równe \(26,4\) . Oblicz wysokość \(h\) tego graniastosłupa.

Punkt \(A=(-3,2)\) jest wierzchołkiem trójkąta równoramiennego \(A B C\), w którym \(|A C|=\) \(|B C|\). Pole tego trójkąta jest równe \(15\). Bok \(B C\) zawarty jest w prostej o równaniu \(y=x-1\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(B\) i \(C\) tego trójkąta.

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty równoramienne o obwodzie równym \(18\).

a) Wykaż, że pole \(P\) każdego z tych trójkątów, jako funkcja długości \(b\) ramienia, wyraża się wzorem \(P(b)=\frac{(18-2 b) \cdot \sqrt{18 b-81}}{2}\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).

c) Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole.