Egzamin maturalny – Maj 2021Arkusz maturalny

Oblicz granicę \[ \lim_{n \to +\infty} \frac{(3 n+2)^2-(1-2 n)^2}{(2 n-1)^2} \].

Niech \(\log _2 18=c\). Wykaż, że \(\log _3 4=\frac{4}{c-1}\).

Rozwiąż nierówność \(\frac{2 x-1}{1-x} \leqslant \frac{2+2 x}{5 x}\).

Dany jest trójkąt równoboczny \(A B C\). Na bokach \(A B\) i \(A C\) wybrano punkty - odpowiednio - \(D\) i \(E\) takie, że \(|B D|=|A E|=\frac{1}{3}|A B|\). Odcinki \(C D\) i \(B E\) przecinają się w punkcie \(P\) (zobacz rysunek).

Wykaż, że pole trójkąta \(D B P\) jest \(21\) razy mniejsze od pola trójkąta \(A B C\).

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez \(15\), jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez \(18\).

Prosta przechodząca przez punkty \(A=(8,-6)\) i \(B=(5,15)\) jest styczna do okręgu o środku w punkcie \(O=(0,0)\). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą \(A B\).

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których trójmian kwadratowy \( x^2-2(m+1) x+m \) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste \(x_1\) oraz \(x_2\), spełniające warunki: \(x_1 \neq 0, x_2 \neq 0 \) oraz \( x_1+x_2 \leqslant \frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\).

Rozwiąż równanie \(\cos 2 x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\cos x-\sin x) \) w przedziale \(\langle 0, \pi\rangle\).

Dany jest trójkąt prostokątny \(A B C\). Promień okręgu wpisanego w ten trójkąt jest pięć razy krótszy od przeciwprostokątnej tego trójkąta. Oblicz sinus tego z kątów ostrych trójkąta \(A B C\), który ma większą miarę.

Dane są parabola o równaniu \(y=x^2\) oraz punkty \(A=(0,2)\) i \(B=(1,3)\) (zobacz rysunek).

Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(A B C\), których wierzchołek \(C\) leży na tej paraboli. Niech \(m\) oznacza pierwszą współrzędna punktu \(C\).

a) Wyznacz pole \(P\) trójkąta \(A B C\) jako funkcję zmiennej \(m\).

b) Wyznacz wszystkie wartości \(m\), dla których trójkąt \(A B C\) jest ostrokątny.

Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności \(144 m^3\). Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać \(9\) metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

-\(100 \)zł za \(1 m^2\) dna

-\(75 \)zł za \(1 m^2\) ściany bocznej.

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.