Egzamin Maturalny – Maj 2011

Wskaż nierówność, którą spełnia liczba \( \pi \).

Pierwsza rata, która stanowi \( 9\% \) ceny roweru, jest równa \( 189 \) zł. Rower kosztuje:

Wyrażenie \( 5a^{2}-10ab+15a \) jest równe iloczynowi:

Układ równań \( \begin{cases} 4x+2y=10 \\ 6x+ay=15 \end{cases} \) ma nieskończenie wiele rozwiązań, jeśli

Rozwiązanie równania \( x(x+3)-49=x(x-4) \) należy do przedziału

Najmniejszą liczbą całkowitą należącą do zbioru rozwiązań nierówności \( \frac{3}{8}+\frac{x}{6}<\frac{5x}{12} \) jest

Wskaż, który zbiór przedstawiony na osi liczbowej jest zbiorem liczb spełniających jednocześnie następujące nierówności: \( 3(x-1)(x-5)≤0 \) i \( x>1 \).

Wyrażenie \( log_{4}\left(2x-1 \right) \) jest określone dla wszystkich liczb \( x \) spełniających warunek

Dane są funkcje liniowe \( f\left(x \right)=x-2 \) oraz \( g\left(x \right)=x+4 \) określne dla wszystkich liczb rzeczywistych \( x \). Wskaż, który z poniższych wykresów jest wykresem funkcji \( h\left(x \right)=f\left(x \right) \cdot g\left(x \right) \).

Funkcja liniowa określona jest wzorem \( f\left(x \right)=-\sqrt{2}x+4 \). Miejscem zerowym tej funkcji jest
liczba

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \( \left(a_{n} \right) \), w którym \( a_{3}=1 \) i \( a_{4}=\frac{2}{3} \). Wtedy

Dany jest nieskończony rosnący ciąg arytmetyczny \( \left (a_{n} \right) \) o wyrazach dodatnich. Wtedy

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( cos\alpha = \frac{5}{13} \). Wtedy

Wartość wyrażenia \( \frac{sin^{2}38^\circ+cos^{2}38^\circ-1}{sin^{2}52^\circ+cos^{2}52^\circ+1} \) jest równa

W prostopadłościanie \( ABCDEFGH \) mamy: \( \left|AB\right|=5 \), \( \left|AD\right|=4 \), \( \left|AE\right|=3 \). Który z odcinków \( AB \), \( BG \), \( GE \), \( EB \) jest najdłuższy?

Punkt \( O \) jest środkiem okręgu. Kąt wpisany \( \alpha \) ma miarę

Wysokość rombu o boku długości \( 6 \) i kącie ostrym \( 60^\circ \) jest równa

Prosta \( k \) ma równanie \( y=2x-3 \). Wskaż równanie prostej \( l \) równoległej do prostej \( k \) i przechodzącej przez punkt \( D \) o współrzędnych \( \left ( -2,\;1 \right ) \).

Styczną do okręgu \( \left ( x – 1 \right )^{2} + y^{2} – 4 = 0 \) jest prosta o równaniu.

Pole powierzchni całkowitej sześcianu jest równe \( 54 \). Długość przekątnej tego sześcianu jest równa:

Objętość stożka o wysokości \( 8 \) i średnicy podstawy \( 12 \) jest równa

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi:

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:

Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa \( 4 \). Wtedy liczba \( x \) jest równa

Rozwiąż nierówność \( 3x^{2}-10x+3\leqslant 0 \).

Uzasadnij, że jeżeli \( a+b=1 \) i \( a^{2}+b^{2}=7 \), to \( a^{4}+b^{4}=31 \).

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji \( f\).

Odczytaj z wykresu i zapisz:

a) zbiór wartości funkcji \( f\),

b) przedział maksymalnej długości, w którym funkcja \( f\) jest malejąca.

Liczby \( x \), \( y \), \( 19 \) w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny, przy czym \( x + y = 8 \). Oblicz \( x \) i \( y \).

Kąt \( \alpha \) jest ostry i \( \frac{sin\alpha}{cos \alpha} + \frac{cos \alpha}{sin \alpha}=2 \). Oblicz wartość wyrażenia \( sin \alpha cos\alpha \).

Dany jest czworokąt \( ABCD \), w którym \( AB \parallel CD \). Na boku \( BC \) wybrano taki punkt \( E \), że
\( \left | EC \right |=\left | CD \right | \) i \( \left | EB \right |=\left | BA \right | \). Wykaż , że kąt \( AED \) jest prosty.

Ze zbioru liczb \( \left \{ 1, \; 2, \; 3, … ,7 \right \} \) losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez \( 3 \).

Okrąg o środku w punkcie \( S = (3, 7) \) jest styczny do prostej o równaniu \( y = 2x – 3 \). Oblicz
współrzędne punktu styczności.

Pewien turysta pokonał trasę \( 112 \) km, przechodząc każdego dnia tę samą liczbę kilometrów. Gdyby mógł przeznaczyć na tę wędrówkę o \( 3 \) dni więcej, to w ciągu każdego dnia mógłby przechodzić o \( 12 \) km mniej. Oblicz, ile kilometrów dziennie przechodził ten turysta.

Punkty \( K \), \( L \) i \( M \) są środkami krawędzi \( BC \) , \( GH \) i \( AE \) sześcianu \( ABCDEFGH \) o krawędzi
długości \( 1 \) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \( KLM \).