Egzamin Maturalny – Maj 2009

Rok: 2009

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Pobierz PDF

Przygotowanie do matury: Zadanie nr 1

Funkcja \( f \) określona jest wzorem:

\[ f\left(x \right)=\begin{cases} & 2x-3\; \; \; \text{ dla } x<2 \\ & 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \text{ dla } 2\leq x\leq 4 \end{cases} \]

a) Uzupełnij tabelkę

x -3 3
\( f\left(x \right) \) \( 0 \)

 
b) Narysuj wykres funkcji \( f\left(x \right) \)

c) Podaj liczby całkowite \( x \), spełniające nierówność \( f\left(x \right)\geq -6 \)


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 2

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie \( 980 \) detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona \( m \), a drugi \( n \) detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu \( 7 \) dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o \( 8 \) dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz \( m \) i \( n \).


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 3

Wykres funkcji \( f \) danej wzorem \( f\left(x \right)=-2x^{2} \) przesunięto wzdłuż osi Ox o \( 3 \) jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o \( 8 \) jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji \( g \).
a) Rozwiąż nierówność \( f\left(x \right)+5<3x \).
b) Podaj zbiór wartości funkcji \( g \).
c) Funkcja g określona jest wzorem \( g\left(x \right)=-2x^{2}+bx+c \). Oblicz \( b \) i \( c \).


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 4

Wykaż, że liczba \( 3^{54} \) jest rozwiązaniem równania \( 243^{11}-81^{14}+7x=9^{27} \).


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 5

Wielomian \( W \) dany jest wzorem \( W\left(x \right)=x^{3}+ax^{2}-4x+b \).
a) Wyznacz \( a \), \( b \) oraz \( c \) tak, aby wielomian W był równy wielomianowi \( P \), gdy \( P\left(x \right)=x^{3}+\left(2a+3\right)x^{2}+\left(a+b+c\right)x+1 \).
b) Dla \( a=3 \) i \( b=0 \) zapisz wielomian \( W \) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 6

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa \( a \).
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność \( sin\alpha -tg\alpha <0 \).
b) Dla \( sin\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3} \) oblicz wartość wyrażenia \( cos^{3}\alpha +cos\alpha \cdot sin^{2}\alpha \).


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 7

Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left(a_{n} \right) \) dla \( n\geq 1 \), w którym \( a_{7}=1 \), \( a_{11}=9 \).
a) Oblicz pierwszy wyraz \( a_{1} \) i różnicę \( r \) ciągu \( \left(a_{n} \right) \).
b) Sprawdź, czy ciąg (\( a_{7} \), \( a_{8} \), \( a_{11} \)) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \( n \) , aby \( S_{n} \) początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \) miała wartość najmniejszą.


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 8

W trapezie \( ABCD \) długość podstawy \( CD \) jest równa 18, a długości ramion trapezu \( AD \) i \( BC \) są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty \( ADB \) i \( DCB \), zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 9

Punkty \( B=(0, 10) \) i \( O = (0, 0) \) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \( AOB \), w którym kąt \( \left|OAB \right|= 90^{\circ} \). Przyprostokątna \( OA \) zawiera się w prostej o równaniu \( y=\frac{1}{2}x \). Oblicz współrzędne punktu \( A \) i długość przyprostokątnej \( OA \).


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 10

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał
wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

Liczba błędów 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Liczba zdających 8 5 8 5 2 1 0 0 1

a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.


Przygotowanie do matury: Zadanie nr 11

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość \( 12 \) i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze \( 30^{ \circ} \).

a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od \( 18\sqrt{3} \). Odpowiedź uzasadnij.