Egzamin Maturalny – Maj 2009

Funkcja \( f \) określona jest wzorem:

\[ f\left(x \right)=\begin{cases} & 2x-3\; \; \; \text{ dla } x<2 \\ & 1 \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \text{ dla } 2\leq x\leq 4 \end{cases} \]

a) Uzupełnij tabelkę

 
b) Narysuj wykres funkcji \( f\left(x \right) \)

c) Podaj liczby całkowite \( x \), spełniające nierówność \( f\left(x \right)\geq -6 \)

Dwaj rzemieślnicy przyjęli zlecenie wykonania wspólnie \( 980 \) detali. Zaplanowali, że każdego dnia pierwszy z nich wykona \( m \), a drugi \( n \) detali. Obliczyli, że razem wykonają zlecenie w ciągu \( 7 \) dni. Po pierwszym dniu pracy pierwszy z rzemieślników rozchorował się i wtedy drugi, aby wykonać całe zlecenie, musiał pracować o \( 8 \) dni dłużej niż planował, (nie zmieniając liczby wykonywanych codziennie detali). Oblicz \( m \) i \( n \).

Wykres funkcji \( f \) danej wzorem \( f\left(x \right)=-2x^{2} \) przesunięto wzdłuż osi Ox o \( 3 \) jednostki w prawo oraz wzdłuż osi Oy o \( 8 \) jednostek w górę, otrzymując wykres funkcji \( g \).
a) Rozwiąż nierówność \( f\left(x \right)+5<3x \).
b) Podaj zbiór wartości funkcji \( g \).
c) Funkcja g określona jest wzorem \( g\left(x \right)=-2x^{2}+bx+c \). Oblicz \( b \) i \( c \).

Wykaż, że liczba \( 3^{54} \) jest rozwiązaniem równania \( 243^{11}-81^{14}+7x=9^{27} \).

Wielomian \( W \) dany jest wzorem \( W\left(x \right)=x^{3}+ax^{2}-4x+b \).
a) Wyznacz \( a \), \( b \) oraz \( c \) tak, aby wielomian W był równy wielomianowi \( P \), gdy \( P\left(x \right)=x^{3}+\left(2a+3\right)x^{2}+\left(a+b+c\right)x+1 \).
b) Dla \( a=3 \) i \( b=0 \) zapisz wielomian \( W \) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.

Miara jednego z kątów ostrych w trójkącie prostokątnym jest równa \( a \).
a) Uzasadnij, że spełniona jest nierówność \( sin\alpha -tg\alpha <0 \).
b) Dla \( sin\alpha =\frac{2\sqrt{2}}{3} \) oblicz wartość wyrażenia \( cos^{3}\alpha +cos\alpha \cdot sin^{2}\alpha \).

Dany jest ciąg arytmetyczny \( \left(a_{n} \right) \) dla \( n\geq 1 \), w którym \( a_{7}=1 \), \( a_{11}=9 \).
a) Oblicz pierwszy wyraz \( a_{1} \) i różnicę \( r \) ciągu \( \left(a_{n} \right) \).
b) Sprawdź, czy ciąg (\( a_{7} \), \( a_{8} \), \( a_{11} \)) jest geometryczny.
c) Wyznacz takie \( n \) , aby \( S_{n} \) początkowych wyrazów ciągu \( \left(a_{n} \right) \) miała wartość najmniejszą.

W trapezie \( ABCD \) długość podstawy \( CD \) jest równa 18, a długości ramion trapezu \( AD \) i \( BC \) są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty \( ADB \) i \( DCB \), zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Punkty \( B=(0, 10) \) i \( O = (0, 0) \) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \( AOB \), w którym kąt \( \left|OAB \right|= 90^{\circ} \). Przyprostokątna \( OA \) zawiera się w prostej o równaniu \( y=\frac{1}{2}x \). Oblicz współrzędne punktu \( A \) i długość przyprostokątnej \( OA \).

Tabela przedstawia wyniki części teoretycznej egzaminu na prawo jazdy. Zdający uzyskał
wynik pozytywny, jeżeli popełnił co najwyżej dwa błędy.

a) Oblicz średnią arytmetyczną liczby błędów popełnionych przez zdających ten egzamin. Wynik podaj w zaokrągleniu do całości.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród dwóch losowo wybranych zdających tylko jeden uzyskał wynik pozytywny. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość \( 12 \) i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze \( 30^{ \circ} \).

a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.

b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od \( 18\sqrt{3} \). Odpowiedź uzasadnij.