Egzamin maturalny – Kwiecień 2020Arkusz maturalny

Oblicz współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=\frac{x^2}{x-1}\), określonej dla każdej liczby rzeczywistej \(x \neq 1\), poprowadzonej w punkcie \(A=\left(6, \frac{36}{5}\right)\) tego wykresu.

W trójkącie \(A B C\) kąt \( B A C\) jest dwa razy większy od kąta \(A B C\). Wykaż, że prawdziwa jest równość \(|B C|^2-|A C|^2=|A B| \cdot|A C|\).

Udowodnij, że dla dowolnego kąta \(\alpha \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)\) prawdziwa jest nierówność \(\sin \left(\frac{\pi}{12}-\alpha\right) \cdot \cos \left(\frac{\pi}{12}+\alpha\right)<\frac{1}{4}\).

Wykaż, że równanie \(x^8+x^2=2\left(x^4+x-1\right)\) ma tylko jedno rozwiązanie rzeczywiste \(x=1\).

Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych ośmiocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry ze zbioru \(\{0,1,3,5,7,9\}\), losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma cyfr wylosowanej liczby jest równa \(3\).

Dany jest rosnący ciąg geometryczny \(\left(a, a q, a q^2\right)\), którego wszystkie wyrazy i iloraz są liczbami całkowitymi nieparzystymi. Jeśli największy wyraz ciągu zmniejszymy o \(4\), to otrzymamy ciąg arytmetyczny. Oblicz wyraz \(a q\) tego ciągu.

Dany jest nieskończony ciąg okręgów \(\left(o_n\right)\) o równaniach \(x^2+y^2=2^{11-n}, n \geqslant 1\). Niech \(P_k\) będzie pierścieniem ograniczonym zewnętrznym okręgiem \(o_{2 k-1}\) i wewnętrznym okręgiem \(o_{2 k}\). Oblicz sumę pól wszystkich pierścieni \(P_k\), gdzie \(k \geqslant 1\).

Trapez prostokątny \(A B C D\) o podstawach \(A B\) i \(C D\) jest opisany na okręgu. Ramię \(BC\) ma długość \(10\), a ramię \(A D\) jest wysokością trapezu. Podstawa \(A B\) jest \(2 \) razy dłuższa od podstawy \(C D\). Oblicz pole tego trapezu.

Wierzchołki \(A\) i \(B\) trójkąta prostokątnego \(A B C\) leżą na osi \(O y\) układu współrzędnych. Okrąg wpisany w ten trójkąt jest styczny do boków \(A B, B C\) i \(C A\) w punktach - odpowiednio - \(P=(0,10), Q=(8,6)\) i \(R=(9,13)\). Oblicz współrzędne wierzchołków \(A, B\) i \(C\) tego trójkąta.

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których równanie \(x^2-3 m x+(m+1)(2 m-1)=0\) ma dwa różne rozwiązania \(x_1, x_2\) spełniające warunki: \(x_1 \cdot x_2 \neq 0\) oraz \(0<\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2} \leqslant \frac{2}{3}\).

Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości \(x\). Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.

a) Wyznacz objętość \(V\) drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej \(x\).

b) Wyznacz dziedzinę funkcji \(V\).

c) Oblicz tę wartość \(x\), dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja \(V\) osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.