Zadanie z: 2008
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: wielomiany 3 stopnia, jednomiany, wyciąganie przed nawias, wzory skróconego mnożenia, różnica kwadratów, grupowanie wyrazów, miejsca zerowe wielomianu.
Treść zadania
Dany jest wielomian \( W\left(x \right) = x^{3} – 5x^{2} – 9x + 45 \).
a) Sprawdź, czy punkt \( A=\left(1, \, 30 \right) \) należy do wykresu tego wielomianu.
b) Zapisz wielomian \( W \) w postaci iloczynu trzech wielomianów stopnia pierwszego.
Podpowiedź do zadania
W punkcie pierwszym sprawdzamy czy \( W\left(1 \right) = 30 \), w podpunkcie \( b \) możemy zastosować grupowanie wyrazów i stosując wzór skróconego mnożenia na kwadra różnicy.Zobacz więcej tutaj: Tablice maturalne - Wzory skróconego mnożenia
Rozwiązanie zadania
a) sprawdzamy czy \( W\left(1 \right) = 30 \)
\[ W\left(1 \right) = 1^{3} -5\cdot 1^{2} -9\cdot 1 + 45 = \]\[ = 1 - 5 - 9 + 45 = 32 \]
b) Stosujemy grupowanie wyrazów.
\[ x^{3} - 5x^{2} - 9x +45 \]\[ x^{2}\left(x-5 \right) -9\left(x-5 \right) \]
Wyciągamy nawias przed nawias
\[ \left(x^{2}-9 \right)\left(x-5 \right) \]
Pierwszy nawias to nic innego jak wzór skróconego mnożenia, wystarczy jedynie zapisać go w nieco innej postaci
\[ \left(x^{2}-9 \right)=\left(x^{2}-3^{2} \right) \]
Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów
\[ a^{2}-b^{2}=\left(a-b \right)\left(a+b \right) \]
Zatem, zgodnie z powyższym wzorem nasz nawias możemy zapisać następująco
\[ \left(x^{2}-3^{2} \right) = \left(x-3 \right)\left(x+3 \right) \]
Całe wyrażenie możemy zapisać następująco
\[ \left(x-3 \right)\left(x+3 \right)\left(x-5 \right) \]