Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: wielomiany, wyciąganie przed nawias, wzór skroconego mnożenia (róznica kwadratów), układ równań.
Treść zadania
Dany jest wielomian \( W\left(x \right)=2x^{3}+ax^{2}-14x+b \).
a) dla \( a=0 \) i \( b=0 \) otrzymamy wielomian \( W\left(x \right)=2x^{3}-14x \). Rozwiąż równanie \( 2x^{3}-14x=0 \).
b) dobierz wartości \( a \) i \( b \) tak, aby wielomian \( W\left(x \right) \) był podzielny jednocześnie przez \( x-2 \) oraz \( x+3 \).
Podpowiedź do zadania
a) przekształcamy równanie wielomianu \( W\left(x \right) \) wyciagając \( 2x \) przed nawias i stosując wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne – Wzory skróconego mnożenia
b) korzystamy z twierdzenia Bézout, aby sprawdzić czy wielomian jest podzielny przez \( x-2 \) oraz \( x+3 \)
Rozwiązanie zadania
Wyciągamy \( 2x \) przed nawias
\[ 2x^{3}-14x=0 \]\[ 2x\left(x^{2}-7 \right)=0 \]
Wykorzystujemy wzór skróconego mnożenia
\[ a^{2}-b^{2}=\left(a-b \right)\left(a+b \right) \]\[ 2x\left(x^{2}-\sqrt{7^{2}} \right)=0 \]\[ 2x\left(x-\sqrt{7} \right)\left(x+\sqrt{7} \right)=0 \]
Aby iloczyn dwóch lub większej ilości liczb wyniósł zero przynajmniej jedna z tych liczb musi być zerem.
Miejscami zerowymi są odpowiednio:
Na mocy twierdzenia Bézout jeśli wielomian \( W\left(p \right)=0 \), to wielomian ten jest podzielny przez dwumian \( x-p \). W ten sposób tworzymy układ równań:
\[ W\left(2 \right)=16+4a-28+b=0 \]\[ W\left(-3 \right)=-54+9a+42+b=0 \]
Otrzymujemy w ten sposób układ równań
\[ \begin{cases} 4a +b=12 \\ 9a+b=12 \end{cases} \]
Odejmując równania od siebie otrzymujemy:
\[ 5a=0 \Rightarrow a=0 \]
Jeśli \( a=0 \) to:
\[ b=12 \]