Zadanie z: 2009
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: funkcja sinus, funkcja cosinus, obwód okręgu, pole boczne walca i objętość walca.
Treść zadania
Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu na płaszczyznę jest prostokątem. Przekątna tego prostokąta ma długość \( 12 \) i tworzy z bokiem, którego długość jest równa wysokości walca, kąt o mierze \( 30^{ \circ} \).
a) Oblicz pole powierzchni bocznej tego walca.
b) Sprawdź, czy objętość tego walca jest większa od \( 18\sqrt{3} \). Odpowiedź uzasadnij.
Podpowiedź do zadania
Z funkcji \( \cos \) wyznaczamy \( H \), a następnie korzytając z funkcji \( \sin \) wyznaczamy długość odcinka \( AB \). Mając długość \( AB \) obliczamy \( r \).Zobacz więcej tutaj: Stereometria oraz Trygonometria
Rozwiązanie zadania
Rysunek pomocniczy
Zgodnie z oznaczeniami na rysunku otrzymujemy:
\[ \frac{\left|BC \right|}{\left|AC \right|}= \cos 30 ^{\circ} =\frac{\sqrt{3}}{2} \]\[ \frac{\sqrt{3}}{2}= \frac{H}{12} \]\[ H = \frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3} \]
Korzystając z funkcji \( \sin \) obliczamy długość odcinka \( AB \)
\[ \frac{\left|AB \right|}{\left|AC \right|}= \sin 30 ^{\circ} = \frac{1}{2} \]\[ \frac{1}{2} = \frac{AB}{12} \Rightarrow AB=6 \]
Podstawa prostokąta o długości \( AB=6 \) jest równa obwodowi okręgu
\[ AB =2 \pi r = 6 \]\[ r=\frac{3}{\pi} \]
a) Mając wszystkie potrzebne dane obliczamy pole powierzchni bocznej
\[ P_{b}=2 \pi rH=6H=36 \sqrt{3} \]
Liczymy objętość
\[ V= \pi r^{2}H \]\[ \pi \left(\frac{3}{\pi} \right)^{2}H=\frac{54\sqrt{3}}{\pi} \]
Teraz musimy sprawdzić następującą nierówność:
\[ \frac{54\sqrt{3}}{\pi}>18 \sqrt{3}\; \; /:18 \sqrt{3} \]\[ \frac{3}{\pi}>1 \]
Skoro ta nierówność nie jest prawdziwa zatem objętość nie może być większa niż \( 18 \sqrt{3} \).