Zadanie #64

Zadanie z: 2008

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 5

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2008 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: trójkąt równoboczny, ostrosłup prawidłowy trójkątny, funkcja cosinus, usuwanie niewymierności z mianownika.

Treść zadania

Pole powierzchni bocznej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego równa się \( \frac{a^{2}\sqrt{15}}{4} \) gdzie \( a \) oznacza długość krawędzi podstawy tego ostrosłupa. Zaznacz na poniższym rysunku kąt nachylenia ściany bocznej ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy. Miarę tego kąta oznacz symbolem \( \beta \). Oblicz \( cos\beta \) i korzystając z tablic funkcji trygonometrycznych i odczytaj przybliżoną wartość \( \beta \) z dokładnością do \( 1^{\circ} \).
 
Stereometria - zadania maturalne

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Wykonujemy odpowiedni rysunek, wykorzystujemy funkcję cosinus kąta oraz wzór na pole trójkąta.

Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Planimetria oraz Wzory maturalne - Stereometria

Rozwiązanie zadania

Rozwiązanie zaczynamy od rysunku.
Stereometria - zadania maturalne
Płaszczyznę podstawy reprezentuje trójkąt \( ABC \), jego wysokość to \( AD \). Jedną ze ścian bocznych jest trójkąt \( BCS \), którego wysokość oznaczona została jako \( DS \). Kąt między ścianą boczną, a podstawą to kąt \( \beta \). Pole trójkąta (ściany bocznej) przy takim oznaczeniu to:
\[ P_{BCS}=\frac{1}{2}BC\cdot SD \]\[ SD=h \]\[ BC=a \]\[ P_{BCS}=\frac{1}{2}ah \]

Pole powierzchni bocznej to trzy pola trójkąta \( BCS \):
\[ P_{PB}=3 \cdot P_{BCS} = \frac{3}{2}ah \]

Z treści zadania wiemy, że:
\[ P_{PB}=\frac{a^{2}\sqrt{15}}{4} \]

Zatem:
\[ \frac{a^{2}\sqrt{15}}{4}=\frac{3}{2}ah \; / \cdot \frac{2}{3ah} \]

Po przekształceniu otrzymujemy:

\[ \frac{2a\sqrt{15}}{12h}=\frac{a\sqrt{15}}{6h}=1 \]

W treści naszego zadania szukamy \( cos \beta \), zatem:

\[ cos \beta =\frac{OD}{SD}=\frac{OD}{h} \]\[ OD=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6} \]\[ cos \beta =\frac{\frac{a\sqrt{3}}{6}}{h}=\frac{a\sqrt{3}}{6} \cdot \frac{1}{h} \]\[ cos \beta =\frac{a\sqrt{3}}{6h} \]

Modyfikujemy nasze poprzednie równanie, a następnie podstawiamy wyliczony \( cos \beta \)
\[ \frac{a\sqrt{15}}{6h}=1 \]\[ \frac{a\sqrt{3}\cdot \sqrt{5}}{6h}=\frac{a\sqrt{3}}{6h}\cdot \sqrt{5}=1 \]\[ cos \beta \cdot \sqrt{5} = 1 \; /: \sqrt{5} \]\[ cos \beta = \frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5} \]\[ cos \beta = \frac{\sqrt{5}}{5} \approx 0,45 \]

Miarę kąta \( \beta \) odczytujemy z tablic trygonometrycznych