Zadanie z: 2011
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Otwarte
Punkty: 4
Opis zadania
Jest to zadanie maturalne otwarte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2011 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać aż 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: pole sześcianu, trójkąty przystające, Twierdzenie Pitagorasa i trójkąt równoboczny.
Treść zadania
Punkty \( K \), \( L \) i \( M \) są środkami krawędzi \( BC \) , \( GH \) i \( AE \) sześcianu \( ABCDEFGH \) o krawędzi
długości \( 1 \) (zobacz rysunek). Oblicz pole trójkąta \( KLM \).
Podpowiedź do zadania
Dorysowujemy odcinki \( AK \), \( KG \) i \( EL \).
Trzy otrzymane trójkąty \( AKM \), \( GKL \) i \( ELM \) są przystające, a więc nasz szukany trójkąt jest równoboczny.
Zobacz więcej tutaj: Wzory materalne - Stereometria i Wzory maturalne - Planimetria
Rozwiązanie zadania
Dorysowujemy odcinki \( AK \), \( KG \) i \( EL \).
Trzy otrzymane trójkąty \( AKM \), \( GKL \) i \( ELM \) są przystające, a więc nasz szukany trójkąt \( KML \) jest równoboczny, obliczamy długość boku tego trójkąta. Najpierw z Pitagorasa liczymy długość boku \( AK \).
\[ AK=\sqrt{AB^{2}+BK^{2}}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{5}{4}} \]
Znając długość boku \( AK \) liczymy z Pitagorasa długość \( MK \).
\[ MK=\sqrt{AK^{2}+AM^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{3}{2}} \]
Podstawiamy do wzoru na pole trójkąta równobocznego.
\[ P_{KML}=\frac{MK^{2}\sqrt{3}}{4}=\frac{\frac{3}{2} \cdot \sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{8} \]