Zadanie z: 2007
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Punkty: 5
Opis zadania
Jest to zadanie, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2007 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 5 punktów. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: pole rombu, trójkąt równoboczny, funkcja tangens, objętość graniastosłupa, wysokość krójkąta równobocznego.
Treść zadania
Dany jest graniastosłup czworokątny prosty \( ABCDEFGH \) o podstawach \( ABCD \) i \( EFGH \) oraz krawędziach bocznych \( AE \), \( BF \), \( CG \), \( DH \). Podstawa \( ABCD \) graniastosłupa jest rombem o boku długości \( 8 cm \) i kątach ostrych \( A \) i \( C \) o mierze \( 60^{\circ} \). Przekątna graniastosłupa \( CE \) jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem \( 60^{\circ} \). Sporządź rysunek pomocniczy i zaznacz na nim wymienione w zadaniu kąty. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Podpowiedź do zadania
Aby obliczyć objętość prodłopadłościanu potrzebujemy pola podstawy oraz wysokości. Pole podstawy obliczamy wykorzystując wzór na pole rombu. Następnie liczymy długość przekątnej podstawy wykorzystując Twierdzenie Sinusów. Korzystając z funkcji trygonometrycznych obliczamy wysokość prodłopadłościanu i podstawiamy do ogólnego wzoru na objętość.Zobacz więcej tutaj: Tablice matematyczne - Stereometria oraz Tablice matematyczne - Funkcje trygonometryczne
Rozwiązanie zadania
Obliczenia zaczynamy od sporządzenia rysunku
Do obliczenia objętości będziemy potrzebować pole podstawy oraz wysokość. Obliczamy pole podstawy korzystając z wzoru na pole rombu:
\[ P=ah=a^{2} sin \alpha =\frac{1}{2} \left|AC \right| \left|BD \right| \]
W naszym przypadku będzie to:
\[ P_{ABCD}=8^{2} \cdot sin 60^{\circ}=32\sqrt{3} \]
Obliczamy długość odcinak \( AC \). Z rysunku jasno wynika, że nasz romb to dwa trójkąty równoboczne o długości boków \( 8 \)
\[ P_{ABCD}=2P_{ABD} \]
A odcinek \( AC \) jest dwukrotnie większy niż wysokość trójkąta równobocznego. Wzór na wysokość trójkata równobocznego to
\[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{8\sqrt{3}}{2} \]\[ AC=2h=2\cdot \frac{8\sqrt{3}}{2}=8\sqrt{3} \]
Następnie liczymy wysokość graniastosłupa korzystając z funkcji trygonometrycznej tangens:
\[ \frac{h}{AC}=tg 60^{\circ} \]\[ \frac{h}{AC}=\sqrt{3} \Rightarrow h=24 \]
Objętość graniastosłupa wynosi:
\[ V=P_{P}\cdot h=32\sqrt{3}\cdot 24=768\sqrt{3} \]