Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny o wysokości \(H=16\). Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tego ostrosłupa jest równy \(\frac{3}{5}\). Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Gdy dodamy liczbę wszystkich krawędzi pewnego graniastosłupa do liczby wszystkich jego wierzchołków, to otrzymamy w wyniku \( 15 \). Liczba wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa:

Stożek o promieniu podstawy \( r\) i kula o tym samym promieniu mają równe objętości. Tangens kąta między tworzącą i płaszczyzną podstawy tego stożka jest równy:

Dany jest walec w którym wysokość jest równa promieniowi podstawy. Objętość tego walca jest równa \( 27\pi \). Wynika stąd, że promień podstawy tego walca jest równy:

Podstawą graniastosłupa prostego \(A B C D E F\) jest trójkąt prostokątny \(A B C\), w którym \(|\measuredangle A C B|= 90^{\circ}\) (zobacz rysunek). Stosunek długości przyprostokątnej \(A C\) tego trójkąta do długości przyprostokątnej \(B C\) jest równy \(4:3\). Punkt \(S\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(A B C\), a długość odcinka \(S C\) jest równa \(5\). Pole ściany bocznej \(B E F C\) graniastosłupa jest równe \(48\). Oblicz objętość tego graniastosłupa.

Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe \(198\). Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to \(1: 2: 3\). Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym wysokość ściany bocznej prostopadłej do krawędzi podstawy ostrosłupa jest równa \(\frac{5 \sqrt{3}}{4}\), a pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest równe \(\frac{15 \sqrt{3}}{4}\). Oblicz objętość tego ostrosłupa.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(A B C S\) krawędź podstawy ma długość \(a\). Pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa jest dwa razy większe od pola jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy.