Zadanie z: 2018
Matura: Główna
Poziom matury: Podstawowa
Rodzaj zadania: Zamknięte
Punkty: 1
Opis zadania
Jest to zadanie zamknięte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2018 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 1 punkt. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: kwadrat różnicy, wzory skróconego mnożenia, rozwiązywanie równań, wyciąganie przed nawias.
Treść zadania
Równanie \( \frac{x^{2}+2x}{x^{2}-4}=0 \)
A) ma trzy rozwiązania: \( x=-2 \), \( x=0 \), \( x=2 \)
B) ma dwa rozwiązania: \( x=0 \), \( x=-2 \)
C) ma dwa rozwiązania: \( x=-2 \), \( x=2 \)
D) ma jedno rozwiązanie: \( x=0 \)
Podpowiedź do zadania
Przyrównujemy licznik do zera i obliczamy równanie, odrzucając rozwiązania, które zerują mianownik. W zadaniu możemy wykorzystać wzór skróconego mnożenia.Zobacz więcej tutaj: Tablice maturalne - Wzory skróconego mnożenia
Rozwiązanie zadania
Mianownik nie może być zerem więc zero musi być w liczniku. W liczniku mamy równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać wykorzystując wzór na Deltę, jednak prościej będzie zastosować wyciąganie przed nawias. Przekształcamy licznik
\[ x^{2}+2x=x\left(x+2 \right) \]
Dwie liczby wymnożone przez siebie dadzą wynik zerowy tylko i wyłącznie jeśli któraś z tych liczb równa się zero.
\[ x=0 \] \[ x=-2 \]
Mamy zatem dwa rozwiązania wystarczy teraz sprawdzić czy któreś z rozwiązań nie zeruje mianownika. Możemy po prostu podstawić rozwiązania do mianownika i obliczyć wynik lub rozwiązać wykorzystując wzór skróconego mnożenia.
\[ a^{2}-b^{2}=\left(a-b \right)\left(a+b \right) \]
\[ x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) \]
Teraz wyraźnie widać, że mianownik zeruje \( x=-2 \) oraz \( x=2 \). Dlatego \( x=-2 \) nie może być rozwiązaniem równania.