Zadanie #82

Zadanie z: 2018

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Rodzaj zadania: Zamknięte

Punkty: 1

Opis zadania

Jest to zadanie zamknięte, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2018 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 1 punkt. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: kwadrat różnicy, wzory skróconego mnożenia, rozwiązywanie równań, wyciąganie przed nawias.

Treść zadania

Równanie \( \frac{x^{2}+2x}{x^{2}-4}=0 \)
A) ma trzy rozwiązania: \( x=-2 \), \( x=0 \), \( x=2 \)
B) ma dwa rozwiązania: \( x=0 \), \( x=-2 \)
C) ma dwa rozwiązania: \( x=-2 \), \( x=2 \)
D) ma jedno rozwiązanie: \( x=0 \)

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Przyrównujemy licznik do zera i obliczamy równanie, odrzucając rozwiązania, które zerują mianownik. W zadaniu możemy wykorzystać wzór skróconego mnożenia.

Zobacz więcej tutaj: Tablice maturalne - Wzory skróconego mnożenia

Rozwiązanie zadania

Mianownik nie może być zerem więc zero musi być w liczniku. W liczniku mamy równanie kwadratowe, które możemy rozwiązać wykorzystując wzór na Deltę, jednak prościej będzie zastosować wyciąganie przed nawias. Przekształcamy licznik

\[ x^{2}+2x=x\left(x+2 \right) \]

Dwie liczby wymnożone przez siebie dadzą wynik zerowy tylko i wyłącznie jeśli któraś z tych liczb równa się zero.

\[ x=0 \] \[ x=-2 \]

Mamy zatem dwa rozwiązania wystarczy teraz sprawdzić czy któreś z rozwiązań nie zeruje mianownika. Możemy po prostu podstawić rozwiązania do mianownika i obliczyć wynik lub rozwiązać wykorzystując wzór skróconego mnożenia.

\[ a^{2}-b^{2}=\left(a-b \right)\left(a+b \right) \]

\[ x^{2}-4=x^{2}-2^{2}=\left(x-2 \right)\left(x+2 \right) \]

Teraz wyraźnie widać, że mianownik zeruje \( x=-2 \) oraz \( x=2 \). Dlatego \( x=-2 \) nie może być rozwiązaniem równania.