Zadanie #71

Zadanie z: 2009

Matura: Główna

Poziom matury: Podstawowa

Punkty: 4

Opis zadania

Jest to zadanie maturalne, które pochodzi z egzaminu maturalnego z 2009 roku poziom podstawowy, za które można było uzyskać 4 punkty. W zadaniu poruszane są takie zagadnienia jak: równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, równanie kierunkowe prostej, warunek prostopadłosci prostych, układy równań oraz długość odcinka.

Treść zadania

Punkty \( B=(0, 10) \) i \( O = (0, 0) \) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego \( AOB \), w którym kąt \( \left|OAB \right|= 90^{\circ} \). Przyprostokątna \( OA \) zawiera się w prostej o równaniu \( y=\frac{1}{2}x \). Oblicz współrzędne punktu \( A \) i długość przyprostokątnej \( OA \).

Wskazówka do zadania

Podpowiedź do zadania

Piszemy równanie prostej \( AB \), jest ona prostopadła do \( OA \), w oraz przechodzi przez \( B \).

Zobacz więcej tutaj: Wzory maturalne - Geometria analityczna

Rozwiązanie zadania

Rysunek pomocniczy.

Piszemy równanie prostej \( AB \). Jest ona prostopadła do \( OA \), zatem jej postać to \( y=-2x+b \) i równocześnie przechodzi przez punkt \( B \). Stąd \( b=10 \). Równanie prostej \( AB \) ma postać \( y=-2x+10 \). Teraz pozostaje nam znalezienie współrzędnych punktu \( A \) i obliczyć długość odcinka \( OA \).

\[ \begin{cases} y=\frac{1}{2}x \\ y=-2x+10 \end{cases} \]
Przyrównujemy równania do siebie otrzymując:

\[ \frac{1}{2}x = -2x+10 \]

Wymnażamy obustronnie przez 2 aby pozbyć się ułamka.

\[ x = -4x+20 \]

\[ 5x = 20\Rightarrow x=4 \]\[ y=\frac{1}{2}x=2\Rightarrow y=2 \]

Ostatni krok to obliczyć długość odcinka \( OA \).

\[ OA=\sqrt{\left(4^{2}+2^{2} \right)}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5} \]